Número de Liouville
En teoría de números , un número de Liouville es un número real x con la propiedad de que, por cada entero positivo n , existe un par de enteros ( p, q ) con q > 1 tal que
Los números de Liouville son "casi racionales " y, por lo tanto, pueden aproximarse "muy de cerca" mediante secuencias de números racionales. Son precisamente aquellos números trascendentales que pueden ser más aproximados por números racionales que cualquier número irracional algebraico . En 1844, Joseph Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales, [1] estableciendo así por primera vez la existencia de números trascendentales. [ cita requerida ]
Para cualquier entero b ≥ 2 y cualquier secuencia de enteros ( a 1 , a 2 , …, ) tal que a k ∈ {0, 1, 2, …, b − 1} para todo k y a k ≠ 0 para infinitos k , define el número
En el caso especial cuando b = 10 y a k = 1, para todo k , el número x resultante se llama constante de Liouville:
Dado que esta representación en base b no se repite, se deduce que x no es un número racional. Por tanto, para cualquier número racional p / q , tenemos | x - p / q | > 0.
Aquí mostraremos que el número donde c y d son enteros y no pueden satisfacer las desigualdades que definen un número de Liouville. Como todo número racional puede representarse como tal, habremos demostrado que ningún número de Liouville puede ser racional .
