Glover es actor de cine, televisión y teatro. Ha recibido cuatro nominaciones al premio Primetime Emmy por sus actuaciones enMandela (1988), Loneseome Dove (1989), Fallen Angels (1996) y Freedom Song (2000). También obtuvo dos nominaciones al premio Screen Actors Guild como Mejor Actor en una Miniserie o Película por Fallen Angels (2000) y como Mejor Reparto en una Película por Dreamgirls (2006). En 1991 obtuvo un premio Independent Spirit por su actuación en To Sleep with Anger .
En 2021, la Junta de la Academia de Artes y Ciencias Cinematográficas anunció que recibiría el Premio Humanitario Jean Hersholt por "[su] defensa de la justicia y los derechos humanos durante décadas refleja su dedicación a reconocer nuestra humanidad compartida en y fuera de la pantalla".