El efecto del tratamiento promedio local (LATE) , también conocido como el efecto causal promedio del cumplidor (CACE), fue introducido por primera vez en la literatura econométrica por Guido W. Imbens y Joshua D. Angrist en 1994. [1] Es el efecto del tratamiento para el subconjunto de la muestra que toma el tratamiento si y solo si fueron asignados al tratamiento, también conocido como cumplidores. No debe confundirse con el efecto de tratamiento promedio (ATE) , que es el efecto de tratamiento promedio a nivel de sujeto; el LATE es solo el ATE entre los cumplidores. El LATE se puede estimar mediante una proporción del efecto estimado por intención de tratar y la proporción estimada de cumplidores, o alternativamente a través de unestimador de variables instrumentales .
Definición general
En la terminología del marco de resultados potenciales , denota el resultado potencial del sujeto , dónde es el indicador binario del sujeto estado del tratamiento. Dejar ser el vector de todos s. denota el resultado potencial tratado para el sujeto , tiempo denota el resultado potencial no tratado.
El ATE es la diferencia entre el valor esperado del grupo de tratamiento y el valor esperado del grupo de control. En un entorno experimental, la asignación aleatoria nos permite asumir que el grupo de tratamiento y el grupo de control tienen los mismos resultados potenciales esperados cuando se tratan (o no). Esto se puede expresar como:
En un experimento ideal, todos los sujetos asignados al tratamiento son tratados, mientras que los asignados al control permanecerán sin tratar. En realidad, sin embargo, la tasa de cumplimiento es a menudo imperfecta, lo que impide que los investigadores identifiquen el ATE. En tales casos, estimar el LATE se convierte en la opción más factible. El LATE es el efecto promedio del tratamiento entre un subconjunto específico de sujetos, que en este caso serían los cumplidores.
Marco de resultados potenciales
El efecto causal del tratamiento en el sujeto. es . Sin embargo, nunca podremos observar ambosy para el mismo tema. En un momento dado, solo podemos observar un sujeto en su o sin tratar Expresar.
A través de la asignación aleatoria, el resultado potencial no tratado esperado del grupo de control es el mismo que el del grupo de tratamiento, y el resultado potencial tratado esperado del grupo de tratamiento es el mismo que el del grupo de control. Por lo tanto, el supuesto de asignación aleatoria nos permite tomar la diferencia entre el resultado promedio en el grupo de tratamiento y el resultado promedio en el grupo de control como el efecto del tratamiento promedio general, de manera que:
Marco de incumplimiento
Muy a menudo los investigadores encontrarán problemas de incumplimiento en sus experimentos, por lo que los sujetos no cumplen con sus asignaciones experimentales. Algunos sujetos no tomarán el tratamiento cuando se les asigne al grupo de tratamiento, por lo que su posible resultado de no serán revelados, mientras que algunos sujetos asignados al grupo de control tomarán el tratamiento, por lo que no revelarán su .
Ante el incumplimiento, la población en un experimento se puede dividir en cuatro subgrupos: cumplidores, siempre tomadores, nunca tomadores y desafiantes. Luego presentamos como un indicador binario de asignación experimental, de modo que cuando , sujeto se asigna a tratamiento, y cuando , sujeto está asignado al control. Por lo tanto,representa si el sujeto es realmente tratado o no cuando la asignación de tratamiento es .
Los cumplidores son sujetos que tomarán el tratamiento si y solo si fueron asignados al grupo de tratamiento, es decir, la subpoblación con y .
Los incumplidores se componen de los tres subgrupos restantes:
- Los tomadores siempre son sujetos que siempre tomarán el tratamiento incluso si fueron asignados al grupo de control, es decir, la subpoblación con
- Los que nunca lo tomaron son sujetos que nunca tomarán el tratamiento incluso si fueron asignados al grupo de tratamiento, es decir, la subpoblación con
- Los desafiantes son sujetos que harán lo contrario de su estado de asignación de tratamiento, es decir, la subpoblación con y
El incumplimiento puede tomar dos formas. En el caso de incumplimiento unilateral, varios de los sujetos que fueron asignados al grupo de tratamiento permanecen sin tratamiento. Así, los sujetos se dividen en cumplidores y nunca tomadores, de modo que para todos , tiempo o . En el caso de incumplimiento bilateral, varios de los sujetos asignados al grupo de tratamiento no reciben el tratamiento, mientras que varios de los sujetos asignados al grupo de control reciben el tratamiento. En este caso, los sujetos se dividen en cuatro subgrupos, de modo que ambos y puede ser 0 o 1.
Dado el incumplimiento, requerimos ciertos supuestos para estimar el TARDE. En caso de incumplimiento unilateral, asumimos la no interferencia y la exclusión. Bajo el incumplimiento bilateral, asumimos la no interferencia, la excluibilidad y la monotonicidad.
Supuestos bajo incumplimiento unilateral
- La suposición de no interferencia, también conocida como suposición de valor de tratamiento de unidad estable (SUTVA), se compone de dos partes. [2]
- La primera parte de este supuesto estipula que el estado real del tratamiento, , de sujeto depende solo del estado de asignación de tratamiento del propio sujeto, . El estado de asignación de tratamiento de otros sujetos no afectará el estado de tratamiento del sujeto. Formalmente, si, luego , dónde denota el vector del estado de asignación de tratamiento para todos los individuos. [3]
- La segunda parte de este supuesto estipula que el sujeto Los resultados potenciales se ven afectados por su propia asignación de tratamiento y el tratamiento que recibe como consecuencia de dicha asignación. La asignación de tratamiento y el estado del tratamiento de otros sujetos no afectarán al sujetoresultados. Formalmente, si y , luego .
- La verosimilitud del supuesto de no interferencia debe evaluarse caso por caso.
- El supuesto de excluibilidad requiere que los resultados potenciales respondan al tratamiento en sí, , no asignación de tratamiento, . Formalmente. Entonces, bajo esta suposición, soloasuntos. [4] La verosimilitud del supuesto de excluibilidad también debe evaluarse caso por caso.
Supuestos bajo incumplimiento bilateral
- Todo lo anterior y
- El supuesto de monotonicidad, es decir, para todos los sujetos , . Esto establece que siempre que un sujeto pasa del grupo de control al grupo de tratamiento,permanece sin cambios o aumenta. El supuesto de monotonicidad descarta a los desafiantes, ya que sus resultados potenciales se caracterizan por. [1] La monotonicidad no se puede probar, por lo que, al igual que los supuestos de no interferencia y excluibilidad, su validez debe determinarse caso por caso.
Identificación
La , por lo que
La mide el efecto promedio de la asignación experimental sobre los resultados sin tener en cuenta la proporción del grupo que fue realmente tratado (es decir, el promedio de los asignados al tratamiento menos el promedio de los asignados al control). En experimentos con pleno cumplimiento, el.
La mide la proporción de sujetos que son tratados cuando son asignados al grupo de tratamiento, menos la proporción que habría sido tratada incluso si hubieran sido asignados al grupo de control, es decir = la proporción de cumplidores.
Prueba
En caso de incumplimiento unilateral, todos los sujetos asignados al grupo de control no tomarán el tratamiento, por lo tanto: [3] ,
así que eso
Si todos los sujetos fueran asignados al tratamiento, los resultados potenciales esperados serían un promedio ponderado de los resultados potenciales tratados entre los cumplidores y los resultados potenciales no tratados entre los que nunca lo tomaron, de manera que
Sin embargo, si todos los sujetos fueran asignados al control, los resultados potenciales esperados serían un promedio ponderado de los resultados potenciales no tratados entre los que cumplen y los que nunca lo toman, de manera que
A través de la sustitución, podemos expresar el ITT como un promedio ponderado del ITT entre las dos subpoblaciones (cumplidores y nunca tomadores), de manera que
Dado el supuesto de exclusión y monotonicidad, la segunda mitad de esta ecuación debería ser cero.
Como tal,
Aplicación: programa hipotético de resultado potencial en caso de incumplimiento bilateral
La siguiente tabla muestra el calendario hipotético de posibles resultados en caso de incumplimiento bilateral.
El ATE se calcula por el promedio de
Observación | Tipo | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 4 | 7 | 3 | 0 | 1 | Cumplidor |
2 | 3 | 5 | 2 | 0 | 0 | Incansable |
3 | 1 | 5 | 4 | 0 | 1 | Cumplidor |
4 | 5 | 8 | 3 | 1 | 1 | Siempre tomador |
5 | 4 | 10 | 6 | 0 | 1 | Cumplidor |
6 | 2 | 8 | 6 | 0 | 0 | Incansable |
7 | 6 | 10 | 4 | 0 | 1 | Cumplidor |
8 | 5 | 9 | 4 | 0 | 1 | Cumplidor |
9 | 2 | 5 | 3 | 1 | 1 | Siempre tomador |
LATE es calculado por ATE entre los cumplidores, por lo que
ITT se calcula por el promedio de ,
entonces
es la cuota de cumplidores
Otros: LATE en el marco de variables instrumentales
También podemos pensar en LATE a través de un marco IV. [5] Asignación de tratamiento es el instrumento que impulsa el efecto causal sobre el resultado a través de la variable de interés , tal que solo influencias a través de la variable endógena y por ningún otro camino. Esto produciría el efecto de tratamiento para los cumplidores.
Además del marco de resultados potenciales mencionado anteriormente, LATE también se puede estimar a través del marco de Modelización de ecuaciones estructurales (SEM) , originalmente desarrollado para aplicaciones econométricas.
SEM se deriva a través de las siguientes ecuaciones:
La primera ecuación captura el efecto de la primera etapa de en , ajustando la varianza, donde
La segunda ecuación captura el efecto de forma reducida de en ,
El estimador de IV ajustado por covariables es el cociente
Similar al supuesto de cumplimiento distinto de cero, el coeficiente en la primera etapa, la regresión debe ser significativa para hacer un instrumento válido.
Sin embargo, debido a la estricta suposición de SEM de un efecto constante en cada individuo, el marco de resultados potenciales tiene un uso más frecuente en la actualidad.
Generalizando TARDE
El objetivo principal de realizar un experimento es obtener una influencia causal, y lo hace asignando sujetos al azar a condiciones experimentales, lo que lo distingue de los estudios observacionales. En un experimento con un cumplimiento perfecto, el efecto promedio del tratamiento se puede obtener fácilmente. Sin embargo, es probable que muchos experimentos experimenten un incumplimiento unilateral o bilateral. En presencia de incumplimiento, el ATE ya no se puede recuperar. En cambio, lo que se recupera es el efecto de tratamiento promedio para una determinada subpoblación conocida como cumplidores, que es el TARDE.
Cuando pueden existir efectos de tratamiento heterogéneos entre los grupos, es poco probable que el LATE sea equivalente al ATE. En un ejemplo, Angrist (1989) [6] intenta estimar el efecto causal de servir en el ejército sobre los ingresos, utilizando el sorteo de lotería como instrumento . Los cumplidores son aquellos que fueron inducidos por el sorteo a servir en el ejército. Si el interés de la investigación es cómo compensar a los gravados involuntariamente por el servicio, LATE sería útil, ya que la investigación apunta a los cumplidores. Sin embargo, si los investigadores están preocupados por un borrador más universal para la interpretación futura, entonces el ATE sería más importante (Imbens 2009). [1]
Por lo tanto, la generalización de la LATE a la ATE se convierte en un tema importante cuando el interés de la investigación radica en el efecto del tratamiento causal en una población más amplia, no solo en los cumplidores. En estos casos, el LATE puede no ser el parámetro de interés y los investigadores han cuestionado su utilidad. [7] [8] Otros investigadores, sin embargo, han contrarrestado esta crítica proponiendo nuevos métodos para generalizar desde el LATE al ATE. [9] [10] [11] La mayoría de estos implican alguna forma de reponderación del LATE, bajo ciertos supuestos clave que permiten la extrapolación de los cumplidores.
Reponderación
La intuición detrás de la reponderación proviene de la noción de que, dado un determinado estrato, la distribución entre los cumplidores puede no reflejar la distribución de la población en general. Por lo tanto, para recuperar el ATE, es necesario volver a ponderar en función de la información obtenida de los cumplidores. Hay varias formas en que se puede utilizar la reponderación para intentar llegar al ATE desde el TARDE.
Reponderación por suposición de ignorabilidad
Al aprovechar la variable instrumental , Aronow y Carnegie (2013) [9] proponen un nuevo método de reponderación denominado ponderación inversa de la puntuación de cumplimiento (ICSW), con una intuición similar detrás de IPW . Este método asume que la propensión al cumplimiento es una covariable previa al tratamiento y los cumplidores tendrían el mismo efecto promedio del tratamiento dentro de sus estratos. ICSW primero estima la probabilidad condicional de ser un cumplidor (puntaje de cumplimiento) para cada sujeto mediante el estimador de máxima verosimilitud dado el control de covariables, luego vuelve a ponderar cada unidad por su puntaje inverso de cumplimiento, de modo que los cumplidores tengan una distribución de covariables que coincida con la población completa. CIBS es aplicable tanto a un solo lado y el incumplimiento de dos caras situación.
Aunque el puntaje de cumplimiento de una persona no se puede observar directamente, la probabilidad de cumplimiento se puede estimar observando la condición de cumplimiento de los mismos estratos, es decir, aquellos que comparten el mismo perfil de covariables. La puntuación de cumplimiento se trata como una covariable latente previa al tratamiento, que es independiente de la asignación del tratamiento.. Para cada unidad, la puntuación de cumplimiento se denota como , dónde es el vector covariable de la unidad .
En el caso de incumplimiento unilateral , la población se compone únicamente de cumplidores y nunca tomadores. Todas las unidades asignadas al grupo de tratamiento que toman el tratamiento serán cumplidoras. Por tanto, una simple regresión bivariada de D sobre X puede predecir la probabilidad de cumplimiento.
En el caso de incumplimiento bilateral , la puntuación de cumplimiento se estima utilizando la estimación de máxima verosimilitud .
Suponiendo la distribución probit para el cumplimiento y la distribución de Bernoulli de D,
dónde .
y es un vector de covariables a estimar, es la función de distribución acumulativa para un modelo probit
- Estimador ICSW
Según el teorema LATE, [1] el efecto de tratamiento promedio para los cumplidores se puede estimar con la ecuación:
Definir el estimador ICSW simplemente se pondera por:
Este estimador es equivalente a utilizar el estimador 2SLS con ponderación.
- Supuestos básicos por debajo de la reponderación
Una suposición esencial de ICSW que se basa en la homogeneidad del tratamiento dentro de los estratos, lo que significa que el efecto del tratamiento debería ser, en promedio, el mismo para todos en los estratos, no solo para los cumplidores. Si esta suposición se cumple, LATE es igual a ATE dentro de algún perfil de covariables. Denotar como:
Tenga en cuenta que este es un supuesto menos restrictivo que el supuesto tradicional de ignorabilidad , ya que solo se refiere a los conjuntos de covariables que son relevantes para la puntuación de cumplimiento, lo que conduce a la heterogeneidad, sin considerar todos los conjuntos de covariables.
El segundo supuesto es la coherencia de por y el tercer supuesto es el cumplimiento distinto de cero para cada estrato, que es una extensión del supuesto IV de cumplimiento distinto de cero sobre la población. Esta es una suposición razonable, ya que si la puntuación de cumplimiento fuera cero para ciertos estratos, la inversa sería infinita.
El estimador ICSW es más sensible que el estimador IV, ya que incorpora más información de covariables, por lo que el estimador puede tener varianzas más altas. Este es un problema general para la estimación de estilo IPW. El problema es exagerado cuando hay solo una pequeña población en ciertos estratos y la tasa de cumplimiento es baja. Una forma de comprometerlo para mejorar las estimaciones, en este documento, establecieron el umbral como = 0,275. Si la puntuación de cumplimiento es inferior a 0,275, se reemplaza por este valor. Bootstrap también se recomienda en todo el proceso para reducir la incertidumbre (Abadie 2002). [12]
Reponderación bajo el supuesto de monotonicidad
En otro enfoque, se podría suponer que un modelo de utilidad subyacente vincula a quienes nunca toman, cumplen y siempre toman. El ATE se puede estimar volviendo a ponderar en función de una extrapolación de los resultados potenciales tratados y no tratados del cumplidor a los que nunca lo toman y a los que siempre lo toman. El siguiente método es uno que ha sido propuesto por Amanda Kowalski. [11]
Primero, se supone que todos los sujetos tienen una función de utilidad, determinada por sus ganancias individuales del tratamiento y los costos del tratamiento. Sobre la base de una suposición subyacente de monotonicidad, los que nunca toman, los que cumplen y los que siempre toman pueden organizarse en el mismo continuo en función de su función de utilidad. Esto supone que quienes siempre toman el tratamiento tienen una utilidad tan alta de tomar el tratamiento que lo tomarán incluso sin estímulo. Por otro lado, los que nunca lo toman tienen una función de utilidad tan baja que no aceptan el tratamiento a pesar del estímulo. Así, los que nunca toman pueden alinearse con los cumplidores con las utilidades más bajas y los que siempre toman con los cumplidores con las funciones de mayor utilidad.
En una población experimental, se pueden observar varios aspectos: los resultados potenciales tratados de los que siempre toman (los que son tratados en el grupo de control); los resultados potenciales no tratados de los que nunca lo tomaron (aquellos que permanecen sin tratamiento en el grupo de tratamiento); los resultados potenciales tratados de los que siempre toman y cumplen (aquellos que son tratados en el grupo de tratamiento); y los posibles resultados no tratados de los que cumplieron y los que nunca lo tomaron (aquellos que no recibieron tratamiento en el grupo de control). Sin embargo, los resultados potenciales tratados y no tratados de los cumplidores deben extraerse de las dos últimas observaciones. Para ello, el LATE debe extraerse de la población tratada.
Suponiendo que no hay desafiantes, se puede suponer que el grupo tratado en la condición de tratamiento consiste tanto en los que siempre lo toman como en los que cumplen. A partir de las observaciones de los resultados tratados en el grupo de control, se puede extraer el resultado tratado promedio para los que siempre lo toman, así como su participación en la población general. Como tal, el promedio ponderado se puede deshacer y se puede obtener el resultado potencial tratado para los cumplidores; luego, el LATE se resta para obtener los resultados potenciales no tratados para los cumplidores. Este movimiento permitirá la extrapolación de los cumplidores para obtener el ATE.
Volviendo al supuesto de monotonicidad débil, que supone que la función de utilidad siempre se ejecuta en una dirección, la utilidad de un cumplidor marginal sería similar a la utilidad de un que nunca acepta en un extremo y la de un que siempre toma en el otro. final. Los que siempre lo toman tendrán los mismos resultados potenciales no tratados que los cumplidores, que es su resultado potencial máximo no tratado. Una vez más, esto se basa en el modelo de utilidad subyacente que vincula los subgrupos, que asume que la función de utilidad de un tomador siempre no sería menor que la función de utilidad de un cumplidor. La misma lógica se aplicaría a los que nunca toman, de quienes se supone que tienen una función de utilidad que siempre será menor que la de un cumplidor.
Dado esto, la extrapolación es posible proyectando los resultados potenciales no tratados de los cumplidores a los que siempre toman, y los resultados potenciales tratados de los cumplidores a los que nunca los toman. En otras palabras, si se asume que los cumplidores no tratados son informativos sobre los que siempre toman, y los cumplidores tratados son informativos sobre los que nunca toman, entonces ahora es posible la comparación entre los que siempre reciben el tratamiento con sus "como si" siempre no recibidos. los que no reciben tratamiento y los que nunca reciben tratamiento se pueden comparar con sus contrapartes tratadas "como si". Esto permitirá entonces el cálculo del efecto general del tratamiento. La extrapolación bajo el supuesto de monotonicidad débil proporcionará un límite, en lugar de una estimación puntual.
Limitaciones
La estimación de la extrapolación a ATE desde el LATE requiere ciertos supuestos clave, que pueden variar de un enfoque a otro. Mientras que algunos pueden asumir homogeneidad dentro de las covariables y, por lo tanto, extrapolar en función de los estratos, [9] otros pueden asumir, en cambio, la monotonicidad . [11] Todos asumirán la ausencia de desafiantes dentro de la población experimental. Algunos de estos supuestos pueden ser más débiles que otros; por ejemplo, el supuesto de monotonicidad es más débil que el supuesto de ignorabilidad . Sin embargo, hay otras compensaciones a considerar, como si las estimaciones producidas son estimaciones puntuales o límites. En última instancia, la literatura sobre la generalización de LATE se basa completamente en supuestos clave. No es un enfoque basado en el diseño per se, y el campo de los experimentos no suele tener el hábito de comparar grupos a menos que se asignen al azar. Incluso en el caso de que las suposiciones sean difíciles de verificar, el investigador puede incorporar a través de la base del diseño de experimentos. Por ejemplo, en un experimento de campo típico donde el instrumento es "estímulo al tratamiento", la heterogeneidad del tratamiento podría detectarse variando la intensidad del estímulo. Si la tasa de cumplimiento se mantiene estable bajo diferente intensidad, podría ser una señal de homogeneidad entre los grupos. Por lo tanto, es importante ser un consumidor inteligente de esta línea de literatura y examinar si los supuestos clave serán válidos en cada caso experimental.
Referencias
- ^ a b c d Imbens, Guido W .; Angrist, Joshua D. (marzo de 1994). "Identificación y estimación de los efectos del tratamiento promedio local" (PDF) . Econometrica . 62 (2): 467. doi : 10.2307 / 2951620 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 2951620 .
- ^ Rubin, Donald B. (enero de 1978). "Inferencia bayesiana de efectos causales: el papel de la aleatorización" . The Annals of Statistics . 6 (1): 34–58. doi : 10.1214 / aos / 1176344064 . ISSN 0090-5364 .
- ^ a b Angrist, Joshua D .; Imbens, Guido W .; Rubin, Donald B. (junio de 1996). "Identificación de efectos causales mediante variables instrumentales" (PDF) . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 91 (434): 444–455. doi : 10.1080 / 01621459.1996.10476902 . ISSN 0162-1459 .
- ^ Imbens, GW; Rubin, DB (1 de octubre de 1997). "Estimación de distribuciones de resultados para cumplidores en modelos de variables instrumentales". La revisión de estudios económicos . 64 (4): 555–574. doi : 10.2307 / 2971731 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2971731 .
- ^ Hanck, Christoph (24 de octubre de 2009). "Joshua D. Angrist y Jörn-Steffen Pischke (2009): Econometría mayoritariamente inofensiva: compañero de un empirista" . Papeles estadísticos . 52 (2): 503–504. doi : 10.1007 / s00362-009-0284-y . ISSN 0932-5026 .
- ^ Angrist, Joshua (septiembre de 1990). "El Draft Lottery y el alistamiento voluntario en la era de Vietnam" . Cambridge, MA. doi : 10.3386 / w3514 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Deaton, Angus (enero de 2009). "Instrumentos de desarrollo: la aleatorización en los trópicos y la búsqueda de las esquivas claves del desarrollo económico" . Cambridge, MA. doi : 10.3386 / w14690 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Heckman, James J .; Urzúa, Sergio (mayo de 2010). "Comparando IV con modelos estructurales: Qué simple IV puede y no puede identificar" . Revista de Econometría . 156 (1): 27–37. doi : 10.1016 / j.jeconom.2009.09.006 . ISSN 0304-4076 . PMC 2861784 . PMID 20440375 .
- ^ a b c Aronow, Peter M .; Carnegie, Allison (2013). "Más allá de LATE: estimación del efecto del tratamiento promedio con una variable instrumental". Análisis político . 21 (4): 492–506. doi : 10.1093 / pan / mpt013 . ISSN 1047-1987 .
- ^ Imbens, Guido W (junio de 2010). "Mejor TARDE que nada: algunos comentarios sobre Deaton (2009) y Heckman y Urzua (2009)" (PDF) . Revista de Literatura Económica . 48 (2): 399–423. doi : 10.1257 / jel.48.2.399 . ISSN 0022-0515 .
- ^ a b c Kowalski, Amanda (2016). "Hacer más cuando se está ejecutando TARDE: aplicar métodos de efecto de tratamiento marginal para examinar la heterogeneidad del efecto de tratamiento en experimentos" . Documento de trabajo NBER No. 22363 . doi : 10.3386 / w22363 .
- ^ Abadie, Alberto (marzo de 2002). "Pruebas de Bootstrap para efectos de tratamiento distributivo en modelos de variables instrumentales". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 97 (457): 284-292. CiteSeerX 10.1.1.337.3129 . doi : 10.1198 / 016214502753479419 . ISSN 0162-1459 .
Otras lecturas
- Angrist, Joshua D .; Fernández-Val, Iván (2013). Avances en Economía y Econometría . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 401–434. doi : 10.1017 / cbo9781139060035.012 . ISBN 9781139060035.