Criterio local de planitud

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En álgebra, el criterio local de planitud proporciona condiciones que se pueden comprobar para mostrar la planitud de un módulo . ^[1]

La suposición de que “ A es un anillo noetheriano” se utiliza para invocar el lema de Artin-Rees y puede debilitarse; ver ( Fujiwara – Gabber – Kato , Proposición 2.2.1.)error de harv: sin destino: CITEREFFujiwara – Gabber – Kato ( ayuda )

Después de SGA 1, Exposé IV, primero probamos algunos lemas, que son interesantes en sí mismos. (Consulte también esta publicación de blog de Akhil Mathew para obtener una prueba de un caso especial).

Lema 1  :  dado un homomorfismo de anillo y un módulo- , los siguientes son equivalentes.${\ Displaystyle A \ to B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M}$

Además, si los dos anteriores son equivalentes a${\ Displaystyle B = A / I}$

Prueba : La equivalencia de los dos primeros se puede ver estudiando la secuencia espectral de Tor . Aquí hay una prueba directa: si 1. es válido y es una inyección de -modules con cokernel C , entonces, como A -modules,${\ Displaystyle N \ hookrightarrow N '}$${\ Displaystyle B}$

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