En matemáticas , el lema de Artin-Rees es un resultado básico sobre módulos sobre un anillo noetheriano , junto con resultados como el teorema de la base de Hilbert . Fue probado en la década de 1950 en obras independientes de los matemáticos Emil Artin y David Rees ; [1] [2] Oscar Zariski conocía un caso especial antes de su trabajo.
Una consecuencia del lema es el teorema de la intersección de Krull . El resultado también se utiliza para probar la propiedad de exactitud de la terminación ( Atiyah y MacDonald 1969 , págs. 107-109) . El lema también juega un papel clave en el estudio de las gavillas ℓ-ádicas .
Declaración
Sea yo un ideal en un anillo noetheriano R ; dejar que M sea un finitamente generado R -módulo y dejar N un submódulo de M . Entonces existe un número entero k ≥ 1 de modo que, para n ≥ k ,
Prueba
El lema se deriva inmediatamente del hecho de que R es noetheriano una vez que se establecen las nociones y notaciones necesarias. [3]
Para cualquier anillo R y un ideal I en R , establecemos( B para explosión.) Decimos una secuencia decreciente de submóduloses una filtración en I si; además, es estable sipara n suficientemente grande . Si a M se le da una filtración I , establecemos; es un módulo graduado sobre.
Ahora, sea M un módulo R con la filtración Ipor módulos R generados de forma finita. Hacemos una observación
- es un módulo generado finitamente sobre si y sólo si la filtración es I -STABLE.
En efecto, si la filtración es I -STABLE, entonces es generado por el primer condiciones y esos términos se generan de forma finita; por lo tanto,se genera de forma finita. Por el contrario, si se genera finitamente, digamos, por algunos elementos homogéneos en, entonces para , cada f en Se puede escribir como
con los generadores en . Es decir,.
Ahora podemos probar el lema, asumiendo que R es noetheriano. Dejar. Luegoson un I filtración -STABLE. Así, por la observación, se genera finitamente sobre . Peroes un anillo noetheriano ya que R es. (El anillose llama álgebra de Rees ). es un módulo de Noetherian y cualquier submódulo se genera finitamente sobre ; En particular,se genera finitamente cuando se administra N a la filtración inducida; es decir,. Luego de la filtración inducida es I -STABLE de nuevo por la observación.
Teorema de la intersección de Krull
Además del uso para completar un anillo, una aplicación típica del lema es la demostración del teorema de la intersección de Krull, que dice: para un ideal ideal I en un anillo conmutativo noetheriano que sea un anillo local o un dominio integral . Por el lema aplicado a la intersección, encontramos k tal que para,
Pero entonces . Por tanto, si A es local,por el lema de Nakayama . Si A es un dominio integral, entonces se usa el truco determinante (que es una variante del teorema de Cayley-Hamilton y produce el lema de Nakayama ):
- Teorema Sea u un endomorfismo de un módulo A N generado por n elementos e I un ideal de A tal que . Entonces hay una relación:
En la configuración aquí, tome u como el operador de identidad en N ; que producirá un elemento x distinto de cero en A tal que, lo que implica .
Tanto para un anillo local como para un dominio integral, el "noetheriano" no se puede eliminar de la suposición: para el caso del anillo local, consulte el caso conmutativo del número de anillo local . Para el caso del dominio integral, tomeser el anillo de los enteros algebraicos (es decir, el cierre integral de en ). Sies un ideal primo de A , entonces tenemos: por cada entero . De hecho, si, luego para algún número complejo . Ahora, es integral sobre ; así en y luego en , probando el reclamo.
Referencias
- ^ David Rees (1956). "Dos teoremas clásicos de la teoría ideal". Proc. Camb. Phil. Soc . 52 (1): 155-157. Código Bibliográfico : 1956PCPS ... 52..155R . doi : 10.1017 / s0305004100031091 . Aquí: Lema 1
- ^ Sharp, RY (2015). "David Rees. 29 de mayo de 1918 - 16 de agosto de 2013". Memorias biográficas de miembros de la Royal Society . 61 : 379–401. doi : 10.1098 / rsbm.2015.0010 . Aquí: Sección 7, Lema 7.2, p.10
- ↑ Eisenbud , Lema 5.1
- Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
- Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. 150 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8.
Otras lecturas
- Conrad, Brian ; de Jong, Aise Johan (2002). "Aproximación de deformaciones versales" (PDF) . Revista de álgebra . 255 (2): 489–515. doi : 10.1016 / S0021-8693 (02) 00144-8 . Señor 1935511 . da una versión de alguna manera más precisa del lema de Artin-Rees.
enlaces externos
- "Teorema de Artin-Rees" . PlanetMath .