Espacio localmente compacto
En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio topológico se denomina localmente compacto si, en términos generales, cada pequeña porción del espacio parece una pequeña porción de un espacio compacto . Más precisamente, es un espacio topológico en el que cada punto tiene una vecindad compacta .
En el análisis matemático, los espacios localmente compactos que son Hausdorff son de particular interés; se abrevian como espacios LCH . [1]
Sea X un espacio topológico . Más comúnmente , X se llama localmente compacto si cada punto x de X tiene una vecindad compacta , es decir, existe un conjunto abierto U y un conjunto compacto K , tales que .
Hay otras definiciones comunes: Todas son equivalentes si X es un espacio de Hausdorff (o preregular). Pero no son equivalentes en general:
La condición (1) es probablemente la definición más utilizada, ya que es la menos restrictiva y las demás son equivalentes cuando X es Hausdorff . Esta equivalencia es consecuencia del hecho de que los subconjuntos compactos de espacios de Hausdorff son cerrados y los subconjuntos cerrados de espacios compactos son compactos.
Como se definen en términos de conjuntos relativamente compactos, los espacios que satisfacen (2), (2'), (2") pueden llamarse más específicamente relativamente compactos localmente . [2] [3] Steen & Seebach [4] llaman (2 ), (2'), (2") fuertemente localmente compacto para contrastar con la propiedad (1), a la que llaman localmente compacto .