Parámetro de ubicación

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En estadística , un parámetro de ubicación de una distribución de probabilidad es un parámetro de valor escalar o vectorial , que determina la "ubicación" o desplazamiento de la distribución. En la literatura sobre la estimación de parámetros de ubicación, se encuentra que las distribuciones de probabilidad con dicho parámetro se definen formalmente de una de las siguientes formas equivalentes:${\displaystyle x_{0}}$

• ya sea teniendo una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad ; ^[1] o${\displaystyle f(x-x_{0})}$
• tener una función de distribución acumulativa ; ^[2] o${\displaystyle F(x-x_{0})}$
• siendo definido como resultado de la transformación de variable aleatoria , donde es una variable aleatoria con una distribución determinada, posiblemente desconocida ^[3] (Ver también #Additive_noise ).${\displaystyle x_{0}+X}$${\displaystyle X}$

Un ejemplo directo de parámetro de ubicación es el parámetro de la distribución normal . Para ver esto, tenga en cuenta que el pdf (función de densidad de probabilidad) de una distribución normal puede tener el parámetro factorizado y escribirse como: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}}$

cumpliendo así la primera de las definiciones dadas anteriormente.

La definición anterior indica, en el caso unidimensional, que si aumenta, la densidad de probabilidad o función de masa se desplaza rígidamente hacia la derecha, manteniendo su forma exacta.${\displaystyle x_{0}}$

También se puede encontrar un parámetro de ubicación en familias que tienen más de un parámetro, como familias de escala de ubicación . En este caso, la función de densidad de probabilidad o la función de masa de probabilidad será un caso especial de la forma más general

${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$

donde es el parámetro de ubicación, θ representa parámetros adicionales y es una función parametrizada en los parámetros adicionales.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f_{\theta }}$

Ruido aditivo

Una forma alternativa de pensar en las familias de ubicaciones es a través del concepto de ruido aditivo . Si es una constante y W es ruido aleatorio con densidad de probabilidad, entonces tiene densidad de probabilidad y, por lo tanto, su distribución es parte de una familia de ubicaciones.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f_{W}(w),}$${\displaystyle X=x_{0}+W}$${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$

Pruebas

Para el caso univariado continuo, considere una función de densidad de probabilidad , donde es un vector de parámetros. Se puede agregar un parámetro de ubicación definiendo:${\displaystyle f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a-x_{0},b-x_{0}]}$

se puede probar que es un pdf verificando si respeta las dos condiciones ^[4] y . se integra a 1 porque:${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$

ahora, haciendo que la variable cambie y actualizando el intervalo de integración en consecuencia, se obtiene:${\displaystyle u=x-x_{0}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$

porque es un pdf por hipótesis. se deriva de compartir la misma imagen de , que es un pdf por lo que su imagen está contenida en .${\displaystyle f(x|\theta )}$${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$

Ver también

• Tendencia central
• Prueba de ubicación
• Estimador invariante
• Parámetro de escala
• Modelos de decisión de dos momentos

Referencias

1. Takeuchi, Kei (1971). "Un estimador uniformemente asintóticamente eficiente de un parámetro de ubicación". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 66 (334): 292-301.
2. Huber, Peter J. (1992). "Estimación robusta de un parámetro de localización". Avances en estadística . Springer: 492–518.
3. Piedra, Charles J. (1975). "Estimadores adaptativos de máxima verosimilitud de un parámetro de ubicación". The Annals of Statistics . 3 (2): 267–284.
4. Ross, Sheldon (2010). Introducción a los modelos de probabilidad . Amsterdam Boston: Prensa académica. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC  444116127 .