El grupo de bucle trenzado es una estructura de grupo matemática que se utiliza en algunos modelos de física teórica para modelar el intercambio de partículas con topologías similares a bucles dentro de tres dimensiones de espacio y tiempo.
Las operaciones básicas que generan un grupo de bucles trenzados para n bucles son los intercambios de dos bucles adyacentes y el paso de un bucle adyacente a través de otro. La topología obliga a estos generadores a satisfacer unas relaciones que determinan el grupo.
Para ser precisos, el grupo de trenzas de bucles en n bucles se define como el grupo de movimiento de n círculos disjuntos incrustados en una "caja" tridimensional compacta difeomorfa al disco tridimensional. Un movimiento es un bucle en el espacio de configuración, que consta de todas las formas posibles de incrustar n círculos en el disco de 3. Esto se convierte en un grupo de la misma manera que los bucles en cualquier espacio se pueden convertir en un grupo; primero, definimos clases de equivalencia de bucles dejando que los caminos g y h sean equivalentes si y solo si están relacionados por una homotopía (suave), y luego definimos una operación de grupo en las clases de equivalencia por concatenación de caminos. En su Ph.D. de 1962 .tesis, David M. Dahm pudo demostrar que hay un homomorfismo inyectivo de este grupo en el grupo de automorfismos del grupo libre en n generadores, por lo que es natural identificar el grupo con este subgrupo del grupo de automorfismos. [1] También se puede mostrar que el grupo de trenzas en bucle es isomorfo al grupo de trenzas soldadas, como se hace, por ejemplo, en un artículo de John C. Baez , Derek Wise y Alissa Crans , que también ofrece algunas presentaciones de la trenza en bucle. grupo usando el trabajo de Xiao-Song Lin. [2]