Término de primer orden
Los términos (o correcciones ) de primer orden dentro de una ecuación , expresión o modelo matemático son los términos con el mayor orden de magnitud . [1] [2] Los tamaños de los diferentes términos en la (s) ecuación (es) cambiarán a medida que cambien las variables y, por lo tanto, qué términos son de orden inicial también pueden cambiar.
Una forma común y poderosa de simplificar y comprender una amplia variedad de modelos matemáticos complicados es investigar qué términos son los más grandes (y, por lo tanto, los más importantes), para tamaños particulares de las variables y parámetros, y analizar el comportamiento producido solo por estos términos ( considerando los otros términos menores como insignificantes). [3] [4] Esto da el comportamiento principal - el comportamiento verdadero es sólo pequeñas desviaciones de este. Este comportamiento principal puede captarse suficientemente bien solo con los términos estrictamente de primer orden, o puede decidirse que también se deben incluir términos un poco más pequeños. En cuyo caso, la frase términos de orden inicialpodría usarse informalmente para referirse a todo este grupo de términos. El comportamiento producido solo por el grupo de términos de orden principal se denomina comportamiento de orden principal del modelo.
Considere la ecuación y = x 3 + 5 x + 0.1. Para cinco valores diferentes de x , la tabla muestra los tamaños de los cuatro términos en esta ecuación y qué términos son de orden inicial. A medida que x aumenta más, los términos de orden principal permanecen como x 3 e y , pero a medida que x disminuye y luego se vuelve cada vez más negativo, los términos de orden principal cambian nuevamente.
No existe un límite estricto para determinar cuándo dos términos deben o no considerarse aproximadamente del mismo orden o magnitud. Una posible regla generales que dos términos que están dentro de un factor de 10 (un orden de magnitud) entre sí deben considerarse aproximadamente del mismo orden, y dos términos que no están dentro de un factor de 100 (dos órdenes de magnitud) entre sí no debería. Sin embargo, en el medio hay un área gris, por lo que no hay límites fijos donde los términos deben considerarse aproximadamente de orden inicial y donde no. En cambio, los términos aparecen y desaparecen a medida que cambian las variables. Decidir si los términos en un modelo son de orden principal (o aproximadamente de orden principal) y, en caso contrario, si son lo suficientemente pequeños como para ser considerados insignificantes (dos preguntas diferentes), es a menudo una cuestión de investigación y juicio, y dependen del contexto.
Las ecuaciones con un solo término de orden inicial son posibles, pero raras [ dudoso ] . Por ejemplo, la ecuación 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1, (donde el lado derecho comprende cien unos). Para cualquier combinación particular de valores para las variables y parámetros, una ecuación normalmente contendrá al menos dos términos de orden inicial y otros términos de orden inferior . En este caso, suponiendo que los términos de orden inferior y las partes de los términos de orden inicial que tienen el mismo tamaño que los términos de orden inferior (quizás la segunda o tercera cifra significativaen adelante), son insignificantes, se puede formar una nueva ecuación eliminando todos estos términos de orden inferior y partes de los términos de orden inicial. Los términos restantes proporcionan la ecuación de orden principal , o el equilibrio de orden principal , [5] o el equilibrio dominante , [6] [7] [8] y crear una nueva ecuación que solo involucre estos términos se conoce como tomar una ecuación para llevar a orden . Las soluciones de esta nueva ecuación se denominan soluciones de primer orden [9] [10] de la ecuación original. Al analizar el comportamiento dado por esta nueva ecuación se obtiene el comportamiento de orden principal [11] [12]del modelo para estos valores de las variables y parámetros. El tamaño del error al hacer esta aproximación es normalmente aproximadamente el tamaño del término mayor desatendido.
Por tanto, el comportamiento principal de y puede investigarse con cualquier valor de x . El comportamiento de orden inicial es más complicado cuando hay más términos en orden inicial. En x = 2 hay un equilibrio de orden adelantado entre las dependencias cúbica y lineal de y sobre x .
