En matemáticas, la envolvente inferior o mínimo puntual de un conjunto finito de funciones es el mínimo puntual de las funciones, la función cuyo valor en cada punto es el mínimo de los valores de las funciones en el conjunto dado. El concepto de envolvente inferior también se puede extender a funciones parciales tomando el mínimo solo entre funciones que tienen valores en el punto. La envolvente superior o máximo puntual se define simétricamente. Para un conjunto infinito de funciones, las mismas nociones pueden definirse utilizando el mínimo en lugar del mínimo y el supremo en lugar del máximo. [1]
Para funciones continuas de una clase dada, la envolvente inferior o superior es una función por partes cuyas partes son de la misma clase. Para funciones de una sola variable real cuyas gráficas tienen un número acotado de puntos de intersección, la complejidad de la envolvente inferior o superior se puede acotar usando secuencias de Davenport-Schinzel , y estas envolventes se pueden calcular de manera eficiente mediante un algoritmo divide y vencerás que calcula y luego fusiona los sobres de los subconjuntos de las funciones. [2]
Para funciones convexas o cuasiconvexas , la envolvente superior vuelve a ser convexa o cuasiconvexa. La envolvente inferior no lo es, pero puede ser reemplazada por la envolvente inferior convexa para obtener una operación análoga a la envolvente inferior que mantiene la convexidad. Las funciones envolvente superior e inferior de Lipschitz conservan la propiedad de ser Lipschitz. Sin embargo, las operaciones de envolvente inferior y superior no conservan necesariamente la propiedad de ser una función continua . [3]