Hemicontinuidad

En matemáticas , la noción de la continuidad de funciones no es inmediatamente extensible a las asignaciones de valores múltiples o correspondencias entre dos conjuntos A y B . Los conceptos duales de hemicontinuidad superior y hemicontinuidad inferior facilitan tal extensión. Una correspondencia que tiene ambas propiedades se dice que es continua en una analogía con la propiedad del mismo nombre para funciones.

En términos generales, una función es hemicontinua superior cuando (1) una secuencia convergente de puntos en el dominio se asigna a una secuencia de conjuntos en el rango que (2) contiene otra secuencia convergente, entonces la imagen del punto límite en el dominio debe contener el límite de la secuencia en el rango. La hemicontinuidad inferior esencialmente invierte esto, diciendo que si una secuencia en el dominio converge, dado un punto en el rango del límite, entonces puede encontrar una subsecuencia cuya imagen contenga una secuencia convergente al punto dado.

Se dice que una correspondencia es hemicontinua superior en el punto si para cualquier vecindario abierto de existe un vecindario de tal que para todos es un subconjunto de${\ Displaystyle \ Gamma: A \ to B}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ Gamma (a)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle x \ in U,}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (x)}$${\ Displaystyle V.}$

Para una correspondencia con valores cerrados, si es hemicontinuo superior en entonces para todas las secuencias en para todas las secuencias tal que${\ Displaystyle \ Gamma: A \ to B}$${\ Displaystyle \ Gamma: A \ to B}$${\ Displaystyle a \ in A}$${\ Displaystyle a _ {\ bullet} = \ left (a_ {m} \ right) _ {m = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle A,}$${\ Displaystyle b \ in B,}$${\ Displaystyle \ left (b_ {m} \ right) _ {m = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle b_ {m} \ in \ Gamma \ left (a_ {m} \ right),}$

Esta correspondencia es hemicontinua superior en todas partes, pero no hemicontinua inferior en  : para una secuencia de puntos que converge a tenemos un ( ) tal que ninguna secuencia de converge a donde cada uno está en${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ left (x_ {m} \ right)}$${\ Displaystyle x,}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y \ in f (x)}$${\ Displaystyle \ left (y_ {m} \ right)}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y_ {m}}$${\ Displaystyle f \ left (x_ {m} \ right).}$

Esta correspondencia es hemicontinuo inferior en todas partes, pero no hemicontinuo superior en porque el gráfico (conjunto) no está cerrado.${\ Displaystyle x,}$