El modelo generalmente designado como ecuación de Lugiato-Lefever (LLE) fue formulado en 1987 por Luigi Lugiato y Renè Lefever [1] como paradigma para la formación de patrones espontáneos en sistemas ópticos no lineales. [2] [3] [4] Los patrones se originan en la interacción de un campo coherente, que se inyecta en una cavidad óptica resonante, con un medio de Kerr que llena la cavidad.
La misma ecuación rige dos tipos de patrones: patrones estacionarios que surgen en los planos ortogonales con respecto a la dirección de propagación de la luz ( patrones transversales ) y patrones que se forman en la dirección longitudinal ( patrones longitudinales ), viajan a lo largo de la cavidad con la velocidad de luz en el medio y dan lugar a una secuencia de pulsos en la salida de la cavidad.
El caso de los patrones longitudinales está intrínsecamente ligado al fenómeno de los “ peines de frecuencia de Kerr ” en microrresonadores, descubierto en 2007 por Tobias Kippenberg y colaboradores, [5] que ha suscitado un interés muy vivo, especialmente por la vía aplicativa que ha abierto.
La ecuacion
La figura 1 muestra un haz de luz que se propaga en el dirección, mientras y son las direcciones transversales. Si asumimos que el campo eléctrico como, dónde denota tiempo, está linealmente polarizado y, por lo tanto, puede tratarse como un escalar, podemos expresarlo en términos de la envolvente compleja normalizada que varía lentamente De este modo
dónde es la frecuencia del haz de luz que se inyecta en la cavidad y de la velocidad de la luz en el medio Kerr que llena la cavidad. Para mayor precisión, considere una cavidad anular (Fig. 2) de muy alta calidad (cavidad High-Q).
En el LLE original, [1] se asume condiciones tales que el sobre es independiente de la variable longitudinal (es decir, uniforme a lo largo de la cavidad), de modo que . La ecuación dice
( 1 )
dónde y , son variables temporales y espaciales normalizadas, es decir , , , con siendo la tasa de decaimiento de la cavidad o el ancho de línea de la cavidad, la longitud de difracción en la cavidad. es el parámetro de desafinación de la cavidad, con siendo la frecuencia de la cavidad más cercana a . En el lado derecho de la ecuación ( 1 ), es la amplitud normalizada del campo de entrada que se inyecta en la cavidad, el segundo es el término de desintegración, el tercero es el término de desafinación, el cuarto es el término cúbico no lineal que tiene en cuenta el medio de Kerr, el último término con la transversal Laplaciano describe la difracción en la aproximación paraxial. Se asumen condiciones de autoenfoque.
Nos referimos a la ecuación ( 1 ) como la LLE transversal. Unos años más tarde, [1] se formuló el LLE longitudinal, en el que la difracción es reemplazada por la dispersión. [6] [7] En este caso se supone que el sobre es independiente de las variables transversales y , así que eso . El LLE longitudinal dice
( 2 )
con , dónde depende, en particular, del parámetro de dispersión de segundo orden. Se asumen condiciones de dispersión anómala. Un punto importante es que, una vezse obtiene resolviendo la ecuación ( 2 ), se debe volver a las variables originales y reemplazar por , de modo que un -La solución estacionaria dependiente (patrón estacionario) se convierte en un patrón de viaje (con velocidad ).
Desde un punto de vista matemático, el LLE equivale a una ecuación de Schroedinger no lineal impulsada, amortiguada y desafinada .
El LLE transversal ( 1 ) está en 2D desde el punto de vista espacial. En una configuración de guía de ondas depende solo de una variable espacial, digamos , y el laplaciano transversal es reemplazado por y uno tiene el LLE transversal en 1D. El LLE longitudinal ( 2 ) es equivalente al LLE transversal en 1D.
En algunos artículos que tratan del caso longitudinal, se considera la dispersión más allá del segundo orden, de modo que la ecuación ( 2 ) incluye también términos con derivadas de orden superior al segundo con respecto a.
Soluciones estacionarias uniformes. Conexión con biestabilidad óptica . Mezcla de cuatro ondas y formación de patrones .
Centrémonos en el caso en el que el sobre es constante, es decir, en las soluciones estacionarias que son independientes de todas las variables espaciales. Al eliminar todas las derivadas en las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) y tomar el módulo al cuadrado, se obtiene la ecuación estacionaria
( 3 )
Si trazamos la curva estacionaria de como una función de , Cuándo obtenemos una curva como la que se muestra en la figura 3.
La curva es -formado y hay un intervalo de valores de donde uno tiene tres estados estacionarios. Sin embargo, los estados que se encuentran en el segmento con pendiente negativa son inestables, por lo que en el intervalo coexisten dos estados estacionarios estables: este fenómeno se denomina biestabilidad óptica . [8] Si la intensidad de entrada aumenta y luego disminuye, se cubre un ciclo de histéresis.
Si nos referimos a los modos de la cavidad vacía, en el caso de las soluciones estacionarias uniformes descritas por la ecuación ( 3 ) el campo eléctrico es monomodo, correspondiente al modo de frecuencia casi resonante con la frecuencia de entrada .
En la configuración transversal de la ecuación ( 1 ), en el caso de estas soluciones estacionarias, E corresponde a una onda plana monomodo con , dónde y son los componentes transversales del vector de onda, exactamente como el campo de entrada .
La no linealidad cúbica de Kerr de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) da lugar a una mezcla de cuatro ondas (FWM), que puede generar otros modos, de modo que la envolventemuestra un patrón espacial: en el plano transversal en el caso de la ecuación ( 1 ), a lo largo de la cavidad en el caso de la ecuación ( 2 ).
Patrones transversales y solitones de cavidad
En el caso transversal de la ecuación ( 1 ) el patrón surge de la interacción de FWM y difracción. El FWM puede dar lugar, por ejemplo, a procesos en los que pares de fotones con son absorbidos y, simultáneamente, el sistema emite pares de fotones con , y , de tal forma que se conserve la energía total de los fotones y su momento total (figura 4).
En realidad, entran en juego más procesos de FWM, de modo que asume la configuración de un patrón hexagonal [9] (ver Fig.5).
Un patrón muestra una matriz ordenada de picos de intensidad. También es posible generar picos de intensidad aislados, [10] que se denominan solitones de cavidad (ver Fig. 6). Dado que los solitones de cavidad se pueden "escribir" y "borrar" uno a uno en el plano transversal como en una pizarra, son de gran interés para aplicaciones en el procesamiento óptico de información y telecomunicaciones.
Patrones longitudinales y solitones de cavidad
En el caso longitudinal de la ecuación ( 2 ) los patrones surgen de la interacción entre FWM y dispersión. El FWM puede dar lugar, por ejemplo, a procesos en los que pares de fotones del modo longitudinal cuasi-resonantes con son absorbidos y, simultáneamente, el sistema emite pares de fotones correspondientes a modos de cavidad simétricamente adyacentes al modo cuasirresonante, de tal manera que se conservan la energía total del fotón, así como el momento total del fotón longitudinal.
La Figura 7 muestra un ejemplo de los patrones que se generan y viajan a lo largo de la cavidad y fuera de la cavidad. Como en el caso transversal, también en la configuración longitudinal se pueden generar solitones de cavidad de Kerr únicos o múltiples; La Figura 8 ilustra el caso de un solitón de una sola cavidad que circula en la cavidad y produce una secuencia de pulsos estrechos en la salida. Estos solitones se han observado por primera vez en una cavidad de fibra. [11]
Es importante señalar que la inestabilidad que origina patrones longitudinales y solitones de cavidad en el LLE es un caso especial de inestabilidad multimodo de biestabilidad óptica, predicha por Bonifacio y Lugiato en [12] y observada por primera vez experimentalmente en. [13]
Microrresonador Kerr peines de frecuencia y solitones de cavidad
Los peines de frecuencia óptica constituyen un conjunto equidistante de frecuencias láser que se pueden emplear para contar los ciclos de luz. Esta técnica, introducida por Theodor Haensch [14] y John Hall [15] utilizando láseres de modo bloqueado , ha dado lugar a innumerables aplicaciones. El trabajo [5] demostró la realización de peines de frecuencia óptica de banda ancha que explotan los modos de galería de susurros activados por un campo láser de CW inyectado en un microrresonador de alta Q lleno de un medio Kerr, que da lugar a FWM. Desde entonces, los peines de frecuencia de Kerr (KFC), cuyo ancho de banda puede exceder una octava con tasas de repetición en las frecuencias de microondas a THz, se han generado en una amplia variedad de microrresonadores; para revisiones sobre este tema, véase, por ejemplo, [16] [17]. Ofrecen un potencial sustancial para la miniaturización y la integración fotónica a escala de chip, así como para la reducción de potencia. Hoy en día, la generación KFC es un campo maduro, y esta tecnología se ha aplicado a varias áreas, incluidas las telecomunicaciones coherentes, la espectroscopia, los relojes atómicos, así como la calibración del espectrómetro astrofísico y el rango láser.
Un impulso clave para estos desarrollos ha sido la realización de solitones de cavidad de Kerr en microrresonadores, [18] abriendo la posibilidad de utilizar solitones de cavidad de Kerr en microrresonadores integrados fotónicos.
El LLE longitudinal ( 2 ) proporciona una imagen espacio-temporal de los fenómenos involucrados, pero desde el punto de vista espectral sus soluciones corresponden a KFC. El vínculo entre el tema de KFC óptico y el LLE se desarrolló teóricamente en. [18] [19] [20] [21] [22] Estos autores demostraron que el LLE (o generalizaciones que incluyen términos de dispersión de orden superior) es el modelo que describe la generación de KFC y es capaz de predecir sus propiedades cuando se modifican los parámetros del sistema. La formación espontánea de patrones espaciales y solitones que viajan a lo largo de la cavidad descrita por el LLE es el equivalente espacio-temporal de los peines de frecuencia y gobierna sus características. Las condiciones bastante idealizadas asumidas en la formulación de la LLE, especialmente la condición de alto Q, se han materializado perfectamente por el espectacular progreso tecnológico que se ha producido entre tanto en el campo de la fotónica y ha conducido, en particular, al descubrimiento de KFC.
Aspectos cuánticos
Los dos fotones que, como se muestra en la figura 4, se emiten en direcciones inclinadas simétricamente en el proceso FWM, se encuentran en un estado de entrelazamiento cuántico : están correlacionados con precisión, por ejemplo, en energía y momento. Este hecho es fundamental para los aspectos cuánticos de los patrones ópticos. Por ejemplo, la diferencia entre las intensidades de los dos haces simétricos se reduce, es decir, presenta fluctuaciones por debajo del nivel de ruido de disparo; [23] El análogo longitudinal de este fenómeno se ha observado experimentalmente en KFC. [24] A su vez, estos aspectos cuánticos son básicos para el campo de la imagen cuántica . [25] [26]
Revisar articulos
Para obtener revisiones sobre el tema de la LLE, consulte también. [27] [28] [29]
Ver también
- Mezcla de cuatro ondas
- Peine de frecuencia
- Peine de frecuencia Kerr
- Ecuación de Schroedinger no lineal
- Biestabilidad óptica
- Formación de patrones
Referencias
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