En el campo matemático del análisis real , el teorema de Lusin (o el teorema de Luzin , llamado así por Nikolai Luzin ) o el Criterio de Lusin establecen que una función finita en casi todas partes es medible si y solo si es una función continua en casi todo su dominio. En la formulación informal de JE Littlewood , "toda función mensurable es casi continua".
Declaración clásica
Para un intervalo [ a , b ], sea
ser una función medible. Entonces, para todo ε > 0, existe un compacto E ⊆ [ a , b ] tal que f restringido a E es continuo y
Tenga en cuenta que E hereda la topología del subespacio de [ a , b ]; la continuidad de f restringida a E se define utilizando esta topología.
También para cualquier función f , definida en el intervalo [ a, b ] y casi en todas partes finito, si para cualquier ε> 0 hay una función ϕ , continua en [ a, b ], tal que la medida del conjunto
es menor que ε , entonces f es medible. [1]
Forma general
Dejar sea un espacio de medida de radón e Y sea un segundo espacio topológico contable equipado con un álgebra de Borel , y sea
ser una función medible. Dado, para cada de medida finita hay un conjunto cerrado con tal que prohibido para es continuo. Sies localmente compacto , podemos elegir ser compacto e incluso encontrar una función continua con soporte compacto que coincide con en y tal que .
De manera informal, las funciones mensurables en espacios con base contable pueden aproximarse mediante funciones continuas en una porción arbitrariamente grande de su dominio.
En la prueba
La prueba del teorema de Lusin se puede encontrar en muchos libros clásicos. Intuitivamente, uno lo espera como consecuencia del teorema de Egorov y la densidad de funciones suaves. El teorema de Egorov establece que la convergencia puntual es casi uniforme y la convergencia uniforme preserva la continuidad.
Referencias
- N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688-1690.
- G. Folland. Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones , 2ª ed. Capítulo 7
- W. Zygmunt. Propiedad Scorza-Dragoni (en polaco), UMCS, Lublin, 1990
- MB Feldman, "Una prueba del teorema de Lusin", American Math. Mensual, 88 (1981), 191-2
- Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, "Teoría de la medida y propiedades finas de las funciones", CRC Press Taylor & Francis Group, Libros de texto en matemáticas, Teorema 1.14
- ^ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Luzin_criterion