En la teoría de la medida , un área de las matemáticas , el teorema de Egorov establece una condición para la convergencia uniforme de una secuencia convergente puntual de funciones medibles . También se denomina teorema de Severini-Egoroff o teorema de Severini-Egorov , en honor a Carlo Severini , un matemático italiano , y Dmitri Egorov , un físico y geómetra ruso , que publicaron pruebas independientes, respectivamente, en 1910 y 1911.
El teorema de Egorov se puede utilizar junto con funciones continuas con soporte compacto para demostrar el teorema de Lusin para funciones integrables .
Nota histórica
La primera prueba del teorema fue dada por Carlo Severini en 1910: [1] [2] usó el resultado como una herramienta en su investigación sobre series de funciones ortogonales . Su trabajo aparentemente pasó desapercibido fuera de Italia , probablemente debido a que está escrito en italiano , apareció en una revista científica con una difusión limitada y fue considerado solo como un medio para obtener otros teoremas. Un año después, Dmitri Egorov publicó sus resultados probados independientemente, [3] y el teorema se hizo ampliamente conocido bajo su nombre: sin embargo, no es raro encontrar referencias a este teorema como el teorema de Severini-Egoroff o el teorema de Severini-Egorov. Los primeros matemáticos que probaron de forma independiente el teorema en la configuración del espacio de medida abstracta común en la actualidad fueron Frigyes Riesz ( 1922 , 1928 ), y en Wacław Sierpiński ( 1928 ): [4] una generalización anterior se debe a Nikolai Luzin , quien logró relajarse ligeramente el requisito de finitud de medida del dominio de convergencia de las funciones convergentes puntuales en el artículo amplio ( Luzin 1916 ). [5] Pavel Korovkin dio más generalizaciones mucho más tarde en el artículo ( Korovkin 1947 ) y Gabriel Mokobodzki en el artículo ( Mokobodzki 1970 ).
Declaración formal y prueba
Declaración
Sea ( f n ) una secuencia de funciones medibles con valor M , donde M es un espacio métrico separable, en algún espacio de medida ( X , Σ, μ), y suponga que hay un subconjunto medible A ⊆ X , con μ finito medida, tal que ( f n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f . El siguiente resultado se mantiene: para cada ε> 0, existe un medible subconjunto B de A tales que μ ( B ) <ε, y ( f n ) converge a f uniformemente en A \ B .
Aquí, μ ( B ) denota la μ-medida de B . En palabras, el teorema dice que la convergencia puntual casi en todas partes en A implica la convergencia uniforme aparentemente mucho más fuerte en todas partes excepto en algún subconjunto B de medida arbitrariamente pequeña. Este tipo de convergencia también se denomina convergencia casi uniforme .
Discusión de supuestos y un contraejemplo
- La hipótesis μ ( A ) <∞ es necesaria. Para ver esto, es simple construir un contraejemplo cuando μ es la medida de Lebesgue : considere la secuencia de funciones de indicador de valor real
- definido en la línea real . Esta secuencia converge puntualmente a la función cero en todas partes, pero no converge uniformemente en para cualquier conjunto B de medida finita: un contraejemplo en el general norte {\ Displaystyle n} -espacio vectorial real dimensionalpuede construirse como lo muestra Cafiero (1959 , p. 302).
- Se necesita la separabilidad del espacio métrico para asegurarse de que para M -valued, funciones medibles f y g , la distancia d ( f ( x ), g ( x )) es de nuevo una función medible de valor real de x .
Prueba
Reparar . Para números naturales n y k , defina el conjunto E n, k por la unión
Estos conjuntos se vuelven más pequeños a medida que n aumenta, lo que significa que E n +1, k es siempre un subconjunto de E n, k , porque la primera unión implica menos conjuntos. Un punto x , para el cual la secuencia ( f m ( x )) converge af ( x ), no puede estar en todo E n, k para un k fijo , porque f m ( x ) tiene que permanecer más cerca de f ( x ) de 1 / k eventualmente. Por lo tanto, asumiendo μ-casi en todas partes convergencia puntual en A ,
por cada k . Dado que A es de medida finita, tenemos continuidad desde arriba ; por tanto, existe, para cada k , algún número natural n k tal que
Para x en este conjunto, consideramos que la velocidad de aproximación a la vecindad 1 / k - de f ( x ) es demasiado lenta. Definir
como el conjunto de todos esos puntos x en A , para los cuales la velocidad de aproximación en al menos uno de estos barrios 1 / k de f ( x ) es demasiado lenta. En la diferencia de conjuntos A \ B tenemos, por tanto, una convergencia uniforme.
Apelando a la aditividad sigma de μ y usando la serie geométrica , obtenemos
Generalizaciones
La versión de luzin
La generalización de Nikolai Luzin del teorema de Severini-Egorov se presenta aquí de acuerdo con Saks (1937 , p. 19).
Declaración
Bajo la misma hipótesis del teorema abstracto de Severini-Egorov, suponga que A es la unión de una secuencia de conjuntos medibles de medida μ finita, y ( f n ) es una secuencia dada de funciones medibles con valor M en algún espacio de medida ( X , Σ, μ), tal que ( f n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f , entonces A puede expresarse como la unión de una secuencia de conjuntos medibles H , A 1 , A 2 , ... tal que μ ( H ) = 0 y ( f n ) converge af uniformemente en cada conjunto A k .
Prueba
Es suficiente considerar el caso en el que el conjunto A es en sí mismo de medida μ finita: utilizando esta hipótesis y el teorema estándar de Severini-Egorov, es posible definir por inducción matemática una secuencia de conjuntos { A k } k = 1 , 2, ... tal que
y tal que ( f n ) converge af uniformemente en cada conjunto A k para cada k . Elegir
entonces obviamente μ ( H ) = 0 y se demuestra el teorema.
Versión de Korovkin
La prueba de la versión de Korovkin sigue de cerca la versión sobre Kharazishvili (2000 , págs. 183-184), que sin embargo la generaliza hasta cierto punto al considerar funcionales admisibles en lugar de medidas y desigualdades no negativas. y respectivamente en las condiciones 1 y 2.
Declaración
Sea ( M , d ) un espacio métrico separable y ( X , Σ) un espacio medible : considere un conjunto medible A y una clase que contiene A y sus subconjuntos medibles de manera que sus contables en uniones e intersecciones pertenecen a la misma clase. Suponga que existe una medida no negativa μ tal que μ ( A ) existe y
- Si con para todos n
- Si con .
Si ( f n ) es una secuencia de funciones medibles con valores M que convergen μ- casi en todas partes ena una función límite f , entonces existe un subconjunto A ′ de A tal que 0 <μ ( A ) - μ ( A ′ ) <ε y donde la convergencia también es uniforme.
Prueba
Considere la familia indexada de conjuntos cuyo conjunto de índices es el conjunto de números naturales. definido como sigue:
Obviamente
y
por lo tanto, hay un número natural m 0 tal que poniendo A 0, m 0 = A 0 la siguiente relación es verdadera:
Usando A 0 es posible definir la siguiente familia indexada
satisfaciendo las siguientes dos relaciones, análogas a las encontradas anteriormente, es decir
y
Este hecho nos permite definir el conjunto A 1, m 1 = A 1 , donde m 1 es un número natural seguramente existente tal que
Al iterar la construcción mostrada, se define otra familia indexada del conjunto { A n } de modo que tenga las siguientes propiedades:
- para todos
- para cada existe k m tal que para todos luego para todos
y finalmente poniendo
la tesis se prueba fácilmente.
Notas
- ^ Publicado en ( Severini 1910 ).
- ↑ Según Straneo (1952 , p. 101), Severini, aunque reconoció su propia prioridad en la publicación del resultado, no quiso revelarlo públicamente: fue Leonida Tonelli quien, en la nota ( Tonelli 1924 ), le atribuyó el prioridad por primera vez.
- ^ En la nota ( Egoroff 1911 )
- ↑ Según Cafiero (1959 , p. 315) y Saks (1937 , p. 17).
- ^ Según Saks (1937 , p. 19).
Referencias
Referencias históricas
- Egoroff, D. Th. (1911), "Sur les suites des fonctions mesurables" [Sobre secuencias de funciones mensurables], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 152 : 244–246, JFM 42.0423.01, disponible en Gallica .
- Riesz, F. (1922), "Sur le théorème de M. Egoroff et sur les opérations fonctionnelles linéaires" [Sobre el teorema de Egorov y sobre operaciones funcionales lineales], Acta Litt. AC Sient. Univ. Colgado. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Matemáticas. (Szeged) (en francés), 1 (1): 18–26, JFM 48.1202.01.
- Riesz, F. (1928), "Elementarer Beweis des Egoroffschen Satzes" [Demostración elemental del teorema de Egorov], Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán), 35 (1): 243–248, doi : 10.1007 / BF01707444 , JFM 54.0271 .04.
- Severini, C. (1910), "Sulle sucesioni di funzioni ortogonali" [Sobre secuencias de funciones ortogonales], Atti dell'Accademia Gioenia , serie 5a (en italiano), 3 (5): Memoria XIII, 1-7, JFM 41.0475 .04. Publicado por la Accademia Gioenia de Catania .
- Sierpiński, W. (1928), "Remarque sur le théorème de M. Egoroff" [Observaciones sobre el teorema de Egorov], Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie (en francés), 21 : 84–87, JFM 57.1391.03.
- Straneo, Paolo (1952), "Carlo Severini" , Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (3): 98–101, MR 0050531, disponible en la Biblioteca Digitale Italiana di Matematica . El obituario de Carlo Severini.
- Tonelli, Leonida (1924), "Su una proposizione fondamentale dell'analisi" [Ona proposición fundamental del análisis], Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 2 (en italiano), 3 : 103-104, JFM 50.0192.01. Una breve nota en la que Leonida Tonelli acredita a Severini por la primera demostración del teorema de Severini-Egorov.
Referencias científicas
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- Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione [ Medida e integración ], Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (en italiano), 5 , Roma : Edizioni Cremonese, pp. VII + 451, MR 0215954 , Zbl 0171.01503. Una monografía definitiva sobre la integración y la teoría de la medida: el tratamiento del comportamiento limitante de la integral de varios tipos de secuencias de estructuras relacionadas con la medida (funciones medibles , conjuntos medibles , medidas y sus combinaciones) es algo concluyente.
- Kharazishvili, AB (2000), Funciones extrañas en análisis real , Matemáticas puras y aplicadas - Una serie de monografías y libros de texto, 229 (1a ed.), Nueva York: Marcel Dekker , págs. Viii + 297, ISBN 0-8247-0320-0, MR 1748782 , Zbl 0.942,26001. Contiene una sección llamada teoremas de tipo Egorov , donde el teorema básico de Severini-Egorov se da en una forma que generaliza ligeramente la de Korovkin (1947) .
- Korovkin, PP (1947), "Generalización de un teorema de DF Egorov", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 58 : 1265-1267, MR 0023322 , Zbl 0038.03803
- Luzin, N. (1916), "Интегралъ и тригонометрическій рядъ" [Serie integral y trigonométrica], Matematicheskii Sbornik (en ruso), 30 (1): 1–242, JFM 48.1368.01
- Mokobodzki, Gabriel (22 de junio de 1970), "Noyaux absolument mesurables et opérateurs nucléaires" [ Núcleos y operadores nucleares absolutamente medibles], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (en francés), 270 : 1673-1675, MR 0270182 , Zbl 0211.44803
- Picone, Mauro; Viola, Tullio (1952), Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione [ Conferencias sobre la teoría de la integración moderna ], Manuali Einaudi. Serie di matematica (en italiano), Turín : Edizioni Scientifiche Einaudi , p. 404, MR 0.049.983 , Zbl 0.046,28102, revisado por Cimmino, Gianfranco (1952), "M. Picone - T. Viola, Lezioni sulla teoria Moderna dell'Integrazione" , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (4): 452–454 y por Halmos, Paul R. (enero de 1953), "Revisión: M. Picone y T. Viola, Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione" , Boletín de la American Mathematical Society , 59 (1): 94, doi : 10.1090 / S0002- 9904-1953-09666-5.
- Saks, Stanisław (1937), Theory of the Integral , Monografie Matematyczne , 7 , traducido por Young, LC , con dos notas adicionales de Stefan Banach (2a ed.), Warszawa - Lwów : GE Stechert & Co., págs. VI + 347, JFM 63.0183.05 , Zbl 0017.30004(disponible en la Biblioteca Virtual de Ciencias de Polonia ).
enlaces externos
- Teorema de Egorov en PlanetMath .
- Humpreys, Alexis. "Teorema de Egorov" . MathWorld .
- Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Egorov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press