Forma de onda de Maass

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En matemáticas, las formas de Maass o formas de onda de Maass se estudian en la teoría de formas automórficas . Las formas de Maass son funciones suaves de valor complejo del semiplano superior, que se transforman de manera similar bajo la operación de un subgrupo discreto de formas modulares. Son formas propias del operador hiperbólico de Laplace definido y satisfacen ciertas condiciones de crecimiento en las cúspides de un dominio fundamental de . En contraste con las formas modulares, las formas de Maass no necesitan ser holomórficas. Hans Maass los estudió por primera vez en 1949.${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

Se puede extender a una operación en definiendo:${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ cup \ {\ infty \} \ cup \ mathbb {\ mathbb {R}}}$

definido en es invariante bajo la operación de .${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Sea un subgrupo discreto de . Un dominio fundamental para es un conjunto abierto , por lo que existe un sistema de representantes de con${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle F \ subconjunto \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ Gamma \ backslash \ mathbb {H}}$

Un dominio fundamental para el grupo modular viene dado por${\ Displaystyle \ Gamma (1): = \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

Una función se llama -invariante, si es válida para todos y para todos .${\ Displaystyle f: \ mathbb {H} \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle f (\ gamma z) = f (z)}$${\ Displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$

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