En el análisis armónico y la teoría de números , una forma automórfica es una función que se comporta bien desde un grupo topológico G hasta los números complejos (o espacio vectorial complejo ) que es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto. del grupo topológico. Las formas automórficas son una generalización de la idea de funciones periódicas en el espacio euclidiano a grupos topológicos generales.
Las formas modulares son formas automórficas holomórficas definidas sobre los grupos SL (2, R ) o PSL (2, R ) siendo el subgrupo discreto el grupo modular , o uno de sus subgrupos de congruencia ; en este sentido, la teoría de las formas automórficas es una extensión de la teoría de las formas modulares. De manera más general, se puede utilizar el enfoque adelia como una forma de tratar con toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Desde este punto de vista, una forma automórfica sobre el grupo G ( A F ), para un grupo algebraico G y un campo numérico algebraico F , es una función de valor complejo en G ( A F ) que se deja invariante bajo G ( F ) y satisface determinadas condiciones de tersura y crecimiento.
Poincaré descubrió por primera vez las formas automórficas como generalizaciones de funciones trigonométricas y elípticas . A través de las conjeturas de Langlands, las formas automórficas juegan un papel importante en la teoría de números moderna. [1]
Formulación
Una forma automórfica es una función F en G (con valores en algún espacio vectorial fijo V de dimensión finita , en el caso de valores vectoriales), sujeta a tres tipos de condiciones:
- transformar bajo traducción por elementos según el factor dado de automorfia j ;
- ser una función propia de ciertos operadores de Casimir en G ; y
- para satisfacer una condición asintótica de "crecimiento moderado" una función de altura . [2]
Es el primero de ellos el que hace que F sea automórfico , es decir, satisfaga una interesante ecuación funcional que relaciona F ( g ) con F ( γg ) para. En el caso de valores vectoriales, la especificación puede implicar una representación de grupo de dimensión finita ρ que actúa sobre los componentes para "torcerlos". La condición del operador de Casimir dice que algunos laplacianos [ cita requerida ] tienen F como función propia; esto asegura que F tenga excelentes propiedades analíticas, pero si realmente es una función analítica compleja depende del caso particular. La tercera condición es manejar el caso donde G / Γ no es compacto pero tiene cúspides .
La formulación requiere la noción general de factor de automorfia j para Γ, que es un tipo de 1- cociclo en el lenguaje de la cohomología de grupo . Los valores de j pueden ser números complejos, o de hecho matrices cuadradas complejas, correspondientes a la posibilidad de formas automórficas con valores vectoriales. La condición de ciclo impuesta sobre el factor de automorfia es algo que se puede comprobar de forma rutinaria, cuando j se deriva de una matriz jacobiana , mediante la regla de la cadena .
Historia
Antes de que se propusiera esta configuración muy general (alrededor de 1960), ya había habido desarrollos sustanciales de formas automórficas distintas de las formas modulares. El caso de Γ un grupo fucsiano ya había recibido atención antes de 1900 (ver más abajo). Las formas modulares de Hilbert (también llamadas formas de Hilbert-Blumenthal) se propusieron poco después, aunque una teoría completa tardó en llegar. Las formas modulares de Siegel , para las que G es un grupo simpléctico , surgieron naturalmente de considerar espacios modulos y funciones theta . El interés de la posguerra en varias variables complejas hizo que fuera natural perseguir la idea de forma automórfica en los casos en que las formas son de hecho analíticas complejas. Se hizo mucho trabajo, en particular por Ilya Piatetski-Shapiro , en los años alrededor de 1960, en la creación de tal teoría. La teoría de la fórmula de la traza de Selberg , aplicada por otros, mostró la considerable profundidad de la teoría. Robert Langlands mostró cómo (en general, se conocen muchos casos particulares) el teorema de Riemann-Roch podría aplicarse al cálculo de dimensiones de formas automórficas; se trata de una especie de comprobación post hoc de la validez de la noción. También produjo la teoría general de la serie de Eisenstein , que corresponde a lo que en términos de la teoría espectral sería el 'espectro continuo' para este problema, dejando la forma de cúspide o parte discreta para investigar. Desde el punto de vista de la teoría de números, las formas de las cúspides han sido reconocidas, desde Srinivasa Ramanujan , como el meollo del asunto.
Representaciones automórficas
La noción subsiguiente de una "representación automórfica" ha demostrado ser de gran valor técnico cuando se trata de G un grupo algebraico , tratado como un grupo algebraico adelico . No incluye completamente la idea de forma automórfica presentada anteriormente, en el sentido de que el enfoque adelia es una forma de tratar con toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Dentro de un espacio L 2 para un cociente de la forma adelia de G , una representación automórfica es una representación que es un producto tensorial infinito de representaciones de grupos p-ádicos , con representaciones de álgebra envolvente específicas para los primos infinitos . Una forma de expresar el cambio de énfasis es que los operadores de Hecke están aquí, de hecho, al mismo nivel que los operadores de Casimir; lo cual es natural desde el punto de vista del análisis funcional [ cita requerida ] , aunque no tan obviamente para la teoría de números. Este es el concepto básico para la formulación de la filosofía de Langlands .
Poincaré sobre el descubrimiento y su trabajo sobre funciones automórficas
Uno de los primeros descubrimientos de Poincaré en matemáticas, que data de la década de 1880, fueron las formas automórficas. Las llamó funciones Fuchsianas, en honor al matemático Lazarus Fuchs , porque Fuchs era conocido por ser un buen maestro y había investigado sobre ecuaciones diferenciales y la teoría de funciones. De hecho, Poincaré desarrolló el concepto de estas funciones como parte de su tesis doctoral. Según la definición de Poincaré, una función automórfica es aquella que es analítica en su dominio y es invariante bajo un grupo infinito discreto de transformaciones fraccionarias lineales. Las funciones automórficas luego generalizan funciones tanto trigonométricas como elípticas .
Poincaré explica cómo descubrió las funciones fucsias:
- Durante quince días me esforcé por demostrar que no podía haber funciones como las que he llamado funciones fucsianas. Entonces era muy ignorante; todos los días me sentaba en mi mesa de trabajo, me quedaba una hora o dos, probaba un gran número de combinaciones y no conseguía ningún resultado. Una noche, contrariamente a mi costumbre, bebí café solo y no pude dormir. Las ideas surgieron en multitudes; Los sentí chocar hasta que los pares se entrelazaron, por así decirlo, formando una combinación estable. A la mañana siguiente había establecido la existencia de una clase de funciones fucsianas, las que provienen de la serie hipergeométrica ; Solo tuve que escribir los resultados, lo que me llevó unas pocas horas.
Ver también
- Factor automórfico
- Factor de automorfia
- Forma de cúspide de Maass
- Formas automórficas en GL (2)
- Forma Jacobi
Notas
- ^ Friedberg, Salomón. "Formas automórficas: una breve introducción" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 6 de junio de 2013 . Consultado el 10 de febrero de 2014 .
- ^ Bump ( 2002 )
Referencias
- AN Parshin (2001) [1994], "Forma automórfica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Henryk Iwaniec , Métodos espectrales de formas automórficas, segunda edición , (2002) (Volumen 53 en Estudios de posgrado en matemáticas ), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
- Stephen Gelbart (1797), "Formas automórficas en grupos de Adele", ISBN 9780608066042
- Este artículo incorpora material de Jules Henri Poincaré en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
enlaces externos
- Citas relacionadas con la forma automórfica en Wikiquote