En dinámica de fluidos computacional , el método de MacCormack es un esquema de discretización ampliamente utilizado para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . Este método de diferencias finitas de segundo orden fue introducido por Robert W. MacCormack en 1969. [1] El método MacCormack es elegante y fácil de entender y programar. [2]
El algoritmo
El método MacCormack es una variación del esquema Lax-Wendroff de dos pasos, pero su aplicación es mucho más sencilla. Para ilustrar el algoritmo, considere la siguiente ecuación hiperbólica de primer orden
La aplicación del método MacCormack a la ecuación anterior se realiza en dos pasos; un paso predictor seguido de un paso corrector .
Paso del predictor: en el paso del predictor, un valor "provisional" de a nivel de tiempo (denotado por ) se estima de la siguiente manera
La ecuación anterior se obtiene reemplazando las derivadas espaciales y temporales en la ecuación hiperbólica de primer orden anterior usando diferencias hacia adelante .
Paso del corrector : en el paso del corrector, el valor predicho se corrige de acuerdo con la ecuación
Tenga en cuenta que el paso del corrector utiliza aproximaciones en diferencias finitas hacia atrás para la derivada espacial. El paso de tiempo utilizado en el paso del corrector es en contraste con el utilizado en el paso del predictor.
Reemplazo de la término por el promedio temporal
para obtener el paso corrector como
Algunas observaciones
El método MacCormack es adecuado para ecuaciones no lineales ( ecuación de Inviscid Burgers , ecuaciones de Euler , etc.). El orden de diferenciación se puede invertir para el paso de tiempo (es decir, adelante / atrás seguido de atrás / adelante). Para ecuaciones no lineales, este procedimiento proporciona los mejores resultados. Para las ecuaciones lineales, el esquema de MacCormack es equivalente al método Lax-Wendroff . [3]
A diferencia del esquema de ceñida de primer orden , MacCormack no introduce errores difusivos en la solución. Sin embargo, se sabe que introduce errores de dispersión ( fenómeno de Gibbs ) en la región donde el gradiente es alto.
Ver también
Referencias
- ^ MacCormack, RW, El efecto de la viscosidad en los cráteres de impacto a hipervelocidad , AIAA Paper, 69-354 (1969).
- ^ Anderson, JD, Jr. , Dinámica de fluidos computacional: lo básico con aplicaciones, McGraw Hill (1994).
- ^ Tannehill, JC, Anderson, DA y Pletcher, RH, Dinámica de fluidos computacional y transferencia de calor, 2ª ed., Taylor y Francis (1997).