En física computacional , los esquemas de ceñida denotan una clase de métodos de discretización numérica para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . Los esquemas de ceñida utilizan una plantilla de diferencia finita adaptativa o sensible a la solución para simular numéricamente la dirección de propagación de la información en un campo de flujo. Los esquemas de ceñida intentan discretizar ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas mediante el uso de diferenciación sesgada en la dirección determinada por el signo de las velocidades características. Históricamente, el origen de los métodos de ceñida se remonta al trabajo de Courant , Isaacson y Rees, quienes propusieron el método CIR. [1]
Ecuación modelo
Para ilustrar el método, considere la siguiente ecuación de advección lineal unidimensional
que describe una onda que se propaga a lo largo del -eje con una velocidad . Esta ecuación también es un modelo matemático para la advección lineal unidimensional . Considere un punto de cuadrícula típicoen el dominio. En un dominio unidimensional, solo hay dos direcciones asociadas con el punto- izquierda (hacia el infinito negativo) y derecha (hacia el infinito positivo). Si es positiva, la solución de onda viajera de la ecuación anterior se propaga hacia la derecha, el lado izquierdo de se llama lado contra el viento y el lado derecho es el lado a favor del viento . Del mismo modo, sies negativo, la solución de onda viajera se propaga hacia la izquierda, el lado izquierdo se llama lado a favor del viento y el lado derecho es el lado contra el viento . Si el esquema de diferencias finitas para la derivada espacial,contiene más puntos en el lado de ceñida, el esquema se llama un esquema de ceñida o simplemente un esquema de ceñida .
Esquema de ceñida de primer orden
El esquema de ceñida más simple posible es el esquema de ceñida de primer orden. Está dado por [2]
( 1 )
( 2 )
Forma compacta
Definiendo
y
las dos ecuaciones condicionales ( 1 ) y ( 2 ) se pueden combinar y escribir en forma compacta como
( 3 )
La ecuación (3) es una forma general de escribir cualquier esquema de tipo ceñida.
Estabilidad
El esquema de ceñida es estable si se cumple la siguiente condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). [3]
Un análisis de la serie de Taylor del esquema de ceñida discutido anteriormente mostrará que tiene una precisión de primer orden en el espacio y el tiempo. El análisis de número de onda modificado muestra que el esquema de ceñida de primer orden introduce una fuerte difusión / disipación numérica en la solución donde existen grandes gradientes debido a la necesidad de altos números de onda para representar gradientes agudos.
Esquema de ceñida de segundo orden
La precisión espacial del esquema de ceñida de primer orden se puede mejorar al incluir 3 puntos de datos en lugar de solo 2, lo que ofrece una plantilla de diferencia finita más precisa para la aproximación de la derivada espacial. Para el esquema de ceñida de segundo orden,se convierte en la diferencia hacia atrás de 3 puntos en la ecuación ( 3 ) y se define como
y es la diferencia hacia adelante de 3 puntos, definida como
Este esquema es menos difusivo en comparación con el esquema de precisión de primer orden y se denomina esquema de diferenciación lineal contra el viento (LUD).
Esquema de ceñida de tercer orden
Para el esquema de ceñida de tercer orden, en la ecuación ( 3 ) se define como
y Se define como
Este esquema es menos difuso en comparación con el esquema de precisión de segundo orden. Sin embargo, se sabe que introduce ligeros errores de dispersión en la región donde el gradiente es alto.
Ver también
Referencias
- ^ Courant, Richard; Isaacson, E; Rees, M. (1952). "Sobre la solución de ecuaciones diferenciales hiperbólicas no lineales por diferencias finitas". Comm. Pure Appl. Matemáticas . 5 (3): 243..255. doi : 10.1002 / cpa.3160050303 .
- ^ Patankar, SV (1980). Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos . Taylor y Francis . ISBN 978-0-89116-522-4.
- ^ Hirsch, C. (1990). Cálculo numérico de flujos internos y externos . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-92452-4.