En matemáticas, el teorema de preparación de Malgrange es un análogo del teorema de preparación de Weierstrass para funciones suaves . Fue conjeturado por René Thom y probado por B. Malgrange ( 1962-1963 , 1964 , 1967 ).
Suponga que f ( t , x ) es una función compleja suave de t ∈ R y x ∈ R n cerca del origen, y sea k el número entero más pequeño tal que
Entonces, una forma del teorema de la preparación establece que cerca del origen f se puede escribir como el producto de una función suave c que es distinta de cero en el origen y una función suave que, en función de t, es un polinomio de grado k . En otras palabras,
Una segunda forma del teorema, ocasionalmente llamado teorema de la división de Mather , es una especie de teorema de la "división con resto": dice que si f y k satisfacen las condiciones anteriores y g es una función suave cerca del origen, entonces podemos escribir
donde q y r son suaves, y como una función de t , r es un polinomio de grado menor que k . Esto significa que
Las dos formas del teorema se implican fácilmente entre sí: la primera forma es el caso especial de la forma de "división con resto" donde g es t k , y la división con forma de resto se sigue de la primera forma del teorema, como podemos suponer. que f en función de t es un polinomio de grado k .