En matemáticas , el teorema de preparación de Weierstrass es una herramienta para tratar con funciones analíticas de varias variables complejas , en un punto P dado . Se afirma que una función de este tipo es, hasta la multiplicación por una función no cero en P , un polinomio de una variable fija z , que es mónico , y cuyos coeficientes de los términos de grado más bajo son funciones analíticas en las variables restantes y cero en P .
También hay una serie de variantes del teorema, que amplían la idea de factorización de alguna anillo R como T · w , donde U es una unidad y w es una especie de distinguido polinomio de Weierstrass . Carl Siegel ha disputado la atribución del teorema a Weierstrass , diciendo que ocurrió bajo el nombre actual en algunos Traités d'analyse de finales del siglo XIX sin justificación.
Funciones analíticas complejas
Para una variable, la forma local de una función analítica f ( z ) cerca de 0 es z k h ( z ) donde h (0) no es 0, y k es el orden del cero de f en 0. Este es el resultado que el teorema de la preparación generaliza. Elegimos una variable z , que podemos asumir que es la primera, y escribimos nuestras variables complejas como ( z , z 2 , ..., z n ). Un polinomio de Weierstrass W ( z ) es
- z k + g k −1 z k −1 + ... + g 0
donde g i ( z 2 , ..., z n ) es analítica y g i (0, ..., 0) = 0.
Entonces el teorema establece que para funciones analíticas f , si
- f (0, ..., 0) = 0,
y
- f ( z , z 2 , ..., z n )
como una serie de potencias tiene algún término que solo involucra a z , podemos escribir (localmente cerca (0, ..., 0))
- f ( z , z 2 , ..., z norte ) = W ( z ) h ( z , z 2 , ..., z norte )
con h analítica y h (0, ..., 0) no 0, y W un polinomio de Weierstrass.
Esto tiene la consecuencia inmediata de que el conjunto de ceros de f , cerca de (0, ..., 0), se puede encontrar fijando valores pequeños de z 2 , ..., z n y luego resolviendo la ecuación W (z ) = 0 . Los valores correspondientes de z forman un número de ramas que varían continuamente , en número igual al grado de W en z . En particular, f no puede tener un cero aislado.
Teorema de división
Un resultado relacionado es el teorema de la división de Weierstrass , que establece que si f y g son funciones analíticas, y g es un polinomio de Weierstrass de grado N , entonces existe un par único h y j tal que f = gh + j , donde j es un polinomio de grado menor que N . De hecho, muchos autores prueban la preparación de Weierstrass como corolario del teorema de la división. También es posible probar el teorema de la división a partir del teorema de la preparación de modo que los dos teoremas sean realmente equivalentes. [1]
Aplicaciones
El teorema de preparación de Weierstrass se puede utilizar para demostrar que el anillo de gérmenes de funciones analíticas en n variables es un anillo noetheriano, que también se conoce como el teorema de la base de Rückert . [2]
Funciones suaves
Existe un teorema de preparación más profundo para funciones suaves , debido a Bernard Malgrange , llamado teorema de preparación de Malgrange . También tiene un teorema de división asociado, llamado así por John Mather .
Serie de poder formal en anillos locales completos
Existe un resultado análogo, también conocido como el teorema de preparación de Weierstrass, para el anillo de series de potencias formales sobre anillos locales completos A : [3] para cualquier serie de potencias tal que no todos están en el ideal máximo de A , hay una unidad única u eny un polinomio F de la forma con (un polinomio llamado distinguido) tal que
Desde es nuevamente un anillo local completo, el resultado se puede iterar y, por lo tanto, da resultados de factorización similares para series de potencias formales en varias variables.
Por ejemplo, esto se aplica al anillo de números enteros en un campo p-ádico . En este caso, el teorema dice que una serie de potencias f ( z ) siempre se puede factorizar de forma única como π n · u ( z ) · p ( z ), donde u ( z ) es una unidad en el anillo de la serie de potencias, p ( z ) es un polinomio distinguido (monic, con los coeficientes de los términos no principales cada uno en el ideal máximo), y π es un uniformizador fijo .
Una aplicación del teorema de preparación y división de Weierstrass para el anillo (también llamado álgebra de Iwasawa ) ocurre en la teoría de Iwasawa en la descripción de módulos generados finitamente sobre este anillo. [4]
Tate álgebras
También hay un teorema de preparación de Weiertrass para álgebras Tate
sobre un campo completo no arquimediano k . [5] Estas álgebras son los bloques de construcción básicos de la geometría rígida . Una aplicación de esta forma del teorema de preparación de Weierstrass es el hecho de que los anillosson noetherianos .
Referencias
- ^ Grauert, Hans ; Remmert, Reinhold (1971), Analytische Stellenalgebren (en alemán), Springer, p. 43, doi : 10.1007 / 978-3-642-65033-8 , ISBN 978-3-642-65034-5
- ^ Ebeling, Wolfgang (2007), Funciones de varias variables complejas y sus singularidades , Proposición 2.19: American Mathematical SocietyMantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ Nicolas Bourbaki (1972), Álgebra conmutativa , capítulo VII, §3, no. 9, Proposición 6: HermannMantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ Lawrence Washington (1982), Introducción a los campos ciclotómicos , Teorema 13.12: SpringerMantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ Bosch, Siegfried ; Güntzer, Ulrich; Remmert, Reinhold (1984), Análisis no arquimediano , Capítulos 5.2.1, 5.2.2: SpringerMantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- Lewis, Andrew, Notas sobre análisis global
- Siegel, CL (1969), "Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass", Teoría y análisis de números (Papers in Honor of Edmund Landau) , Nueva York: Plenum, págs. 297-306, MR 0268402, reimpreso en Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K .; Maass., H. (eds.), Gesammelte Abhandlungen. Band IV , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs. 1–8, ISBN 0-387-09374-5, MR 0543842
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Teorema de Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Stickelberger, L. (1887), "Ueber einen Satz des Herrn Noether" , Mathematische Annalen , 30 (3): 401–409, doi : 10.1007 / BF01443952
- Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2 , Berlín: Mayer & Müller, págs. 135-142 reimpreso por Johnson, Nueva York, 1967.