Teorema de interpolación de Marcinkiewicz

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En matemáticas , el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , descubierto por Józef Marcinkiewicz  ( 1939 ), es un resultado que acota las normas de los operadores no lineales que actúan sobre espacios ^Lp .

El teorema de Marcinkiewicz es similar al teorema de Riesz-Thorin sobre los operadores lineales , pero también se aplica a los operadores no lineales.

Sea f una función medible con valores reales o complejos, definida en un espacio de medida ( X ,  F , ω). La función de distribución de f está definida por

Entonces f se llama débil${\ estilo de visualización L^{1}}$ si existe una constante C tal que la función de distribución de f satisface la siguiente desigualdad para todo t  > 0:

La constante C más pequeña en la desigualdad anterior se llama la norma débil${\ estilo de visualización L^{1}}$ y generalmente se denota por o De manera similar, el espacio se denota por L ^{1, w} o L ^1,∞ .${\ estilo de visualización \ | f \ | _ {1, w}}$${\displaystyle \|f\|_{1,\infty}.}$

(Nota: esta terminología es un poco engañosa ya que la norma débil no satisface la desigualdad del triángulo, como se puede ver al considerar la suma de las funciones dadas por y , que tiene una norma 4 y no 2).${\ estilo de visualización (0,1)}$${\ estilo de visualización 1/x}$${\ estilo de visualización 1/(1-x)}$

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