En matemáticas , el teorema de Riesz-Thorin , a menudo denominado teorema de interpolación de Riesz-Thorin o teorema de convexidad de Riesz-Thorin , es un resultado de la interpolación de operadores . Lleva el nombre de Marcel Riesz y su alumno G. Olof Thorin .
Este teorema limita las normas de los mapas lineales que actúan entre L p espacios. Su utilidad radica en el hecho de que algunos de estos espacios tienen una estructura bastante más simple que otros. Por lo general, eso se refiere a L 2, que es un espacio de Hilbert , oa L 1 y L ∞ . Por lo tanto, uno puede probar teoremas sobre los casos más complicados probándolos en dos casos simples y luego usando el teorema de Riesz-Thorin para pasar de los casos simples a los casos complicados. El teorema de Marcinkiewicz es similar pero también se aplica a una clase de mapas no lineales.
Motivación
Primero necesitamos la siguiente definición:
- Definición. Sean p 0 , p 1 dos números tales que 0 < p 0 < p 1 ≤ ∞ . Entonces para 0 < θ <1 defina p θ por: 1/p θ = 1 - θ/p 0 + θ/p 1.
Dividiendo la función f en L p θ como el producto | f | = | f | 1− θ | f | θ y aplicando la desigualdad de Hölder a su potencia p θ , obtenemos el siguiente resultado, fundamental en el estudio de L p -espacios:
Proposición (log-convexidad de L p -normas) - Cada f ∈ L p 0 ∩ L p 1 satisface:
Este resultado, cuyo nombre deriva de la convexidad del mapa 1 ⁄ p ↦ log || f || p en [0, ∞] , implica que L p 0 ∩ L p 1 ⊂ L p θ .
Por otro lado, si tomamos la descomposición de torta de capas f = f 1 {| f |> 1} + f 1 {| f | ≤1} , entonces vemos que f 1 {| f |> 1} ∈ L p 0 y f 1 {| f | ≤1} ∈ L p 1 , de donde obtenemos el siguiente resultado:
Proposición - Cada f en L p θ se puede escribir como una suma: f = g + h , donde g ∈ L p 0 y h ∈ L p 1 .
En particular, el resultado anterior implica que L p θ está incluido en L p 0 + L p 1 , la suma de L p 0 y L p 1 en el espacio de todas las funciones medibles. Por tanto, tenemos la siguiente cadena de inclusiones:
Corolario - L p 0 ∩ L p 1 ⊂ L p θ ⊂ L p 0 + L p 1 .
En la práctica, a menudo nos encontramos con operadores definidos en el sumatorio L p 0 + L p 1 . Por ejemplo, el lema de Riemann-Lebesgue muestra que la transformada de Fourier mapea L 1 ( R d ) acotada en L ∞ ( R d ) , y el teorema de Plancherel muestra que la transformada de Fourier mapea L 2 ( R d ) acotada en sí misma, de ahí la Transformada de Fourierse extiende a ( L 1 + L 2 ) ( R d ) configurando
Con este fin, volvemos a nuestro ejemplo y observemos que la transformada de Fourier en el conjunto de suma L 1 + L 2 se obtuvo tomando la suma de dos instanciaciones del mismo operador, a saber
Estos realmente son el mismo operador, en el sentido de que coinciden en el subespacio ( L 1 ∩ L 2 ) ( R d ) . Dado que la intersección contiene funciones simples , es densa tanto en L 1 ( R d ) como en L 2 ( R d ) . Los operadores continuos densamente definidos admiten extensiones únicas, por lo que se justifica considerar y ser el mismo .
Por lo tanto, el problema de estudiar operadores en el conjunto L p 0 + L p 1 se reduce esencialmente al estudio de operadores que mapean dos espacios de dominio natural, L p 0 y L p 1 , acotados a dos espacios objetivo: L q 0 y L q 1 , respectivamente. Dado que tales operadores mapean el espacio sumatorio L p 0 + L p 1 a L q 0 + L q 1 , es natural esperar que estos operadores mapeen el espacio intermedio L p θ al espacio intermedio correspondiente L q θ .
Declaración del teorema
Hay varias formas de enunciar el teorema de interpolación de Riesz-Thorin; [1] para ser coherentes con las notaciones de la sección anterior, usaremos la formulación de conjunto.
Riesz-Thorin interpolación teorema - Let (Ω 1 , Σ 1 , mu 1 ) y (Ω 2 , Σ 2 , μ 2 ) sea σ medida -finite espacios. Supongamos que 1 ≤ p 0 , q 0 , p 1 , q 1 ≤ ∞ , y sea T : L p 0 ( μ 1 ) + L p 1 ( μ 1 ) → L q 0 ( μ 2 ) + L q 1 ( μ 2 ) ser un operador lineal que mapea de forma acotada L p 0 ( μ 1 ) en L q 0 ( μ 2 ) y L p 1 ( μ 1 ) en L q 1 ( μ 2 ) . Para 0 < θ <1 , permiten p θ , q θ se definen como anteriormente. Entonces T mapea de forma acotada L p θ ( μ 1 ) en L q θ ( μ 2 ) y satisface la estimación de la norma del operador
En otras palabras, si T es simultáneamente de tipo ( p 0 , q 0 ) y de tipo ( p 1 , q 1 ) , entonces T es de tipo ( p θ , q θ ) para todo 0 < θ <1 . De esta manera, el teorema de interpolación se presta a una descripción pictórica. De hecho, el diagrama de Riesz de T es la colección de todos los puntos ( 1/pag, 1/q) en el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] tal que T es de tipo ( p , q ) . El teorema de interpolación establece que el diagrama de Riesz de T es un conjunto convexo: dados dos puntos en el diagrama de Riesz, el segmento de línea que los conecta también estará en el diagrama.
El teorema de interpolación fue originalmente establecido y probado por Marcel Riesz en 1927. [2] El artículo de 1927 establece el teorema solo para el triángulo inferior del diagrama de Riesz, es decir, con la restricción de que p 0 ≤ q 0 y p 1 ≤ q 1 . Olof Thorin extendió el teorema de interpolación a todo el cuadrado, eliminando la restricción del triángulo inferior. La prueba de Thorin se publicó originalmente en 1938 y posteriormente se amplió en su tesis de 1948. [3]
Boceto de prueba
La demostración clásica del teorema de interpolación de Riesz-Thorin se basa fundamentalmente en el teorema de las tres líneas de Hadamard para establecer los límites requeridos, aunque es posible una versión que omita el uso del análisis complejo. [4] Mediante la caracterización de los espacios duales de L p -espacios , vemos que
Definiendo adecuadamente las variantes f z y g z de f y g para cada z en C , obtenemos la función completa
Entonces podemos usar las hipótesis para establecer los límites superiores de Φ en las líneas Re ( z ) = 0 y Re ( z ) = 1 , de donde el teorema de las tres líneas de Hadamard establece el límite interpolado de Φ en la línea Re ( z ) = θ . Ahora basta con comprobar que el límite en z = θ es lo que queríamos.
Interpolación de familias analíticas de operadores
El esquema de prueba presentado en la sección anterior se generaliza fácilmente al caso en el que se permite que el operador T varíe analíticamente. De hecho, se puede realizar una prueba análoga para establecer un límite en toda la función
Stein interpolación teorema - Let (Ω 1 , Σ 1 , mu 1 ) y (Ω 2 , Σ 2 , μ 2 ) sea σ medida -finite espacios. Suponga 1 ≤ p 0 , p 1 ≤ ∞, 1 ≤ q 0 , q 1 ≤ ∞ , y defina:
- S = { z ∈ C : 0
z ) <1} , - S = { z ∈ C : 0 ≤ Re ( z ) ≤ 1}.
Tomamos una colección de operadores lineales { T z : z ∈ S } en el espacio de funciones simples en L 1 ( μ 1 ) en el espacio de todas las funciones μ 2 medibles en Ω 2 . Suponemos las siguientes propiedades adicionales en esta colección de operadores lineales:
- El mapeo es continua en S y holomórfica en S para todas las funciones simples f y g .
- Para alguna constante k < π , los operadores satisfacen el límite uniforme:
- T z mapea L p 0 ( μ 1 ) acotada a L q 0 ( μ 2 ) siempre que Re ( z ) = 0 .
- T z mapea L p 1 ( μ 1 ) acotada a L q 1 ( μ 2 ) siempre que Re ( z ) = 1 .
- Las normas del operador satisfacen el límite uniforme para alguna constante k < π .
Entonces, para cada 0 < θ <1 , el operador T θ mapea L p θ ( μ 1 ) acotado en L q θ ( μ 2 ) .
La teoría de los espacios de Hardy reales y el espacio de las oscilaciones medias acotadas nos permite utilizar el argumento del teorema de interpolación de Stein al tratar con operadores en el espacio de Hardy H 1 ( R d ) y el espacio BMO de las oscilaciones medias acotadas; este es el resultado de Charles Fefferman y Elias Stein . [6]
Aplicaciones
Desigualdad de Hausdorff-Young
Se ha demostrado en la primera sección que la transformada de Fourier mapea L 1 ( R d ) delimitada en L ∞ ( R d ) y L 2 ( R d ) en sí mismo. Un argumento similar muestra que el operador de la serie de Fourier , que transforma funciones periódicas f : T → C en funciones cuyos valores son los coeficientes de Fourier
La desigualdad de Hausdorff-Young también se puede establecer para la transformada de Fourier en grupos abelianos compactos localmente . La estimación normal de 1 no es óptima. Consulte el artículo principal para obtener referencias.
Operadores de convolución
Sea f una función fija integrable y sea T el operador de convolución con f , es decir, para cada función g tenemos Tg = f ∗ g .
Es bien sabido que T está acotado de L 1 a L 1 y es trivial que esté acotado de L ∞ a L ∞ (ambos límites son por || f || 1 ). Por lo tanto, el teorema de Riesz-Thorin da
Tomamos esta desigualdad y cambiamos el papel del operador y el operando, o en otras palabras, pensamos en S como el operador de convolución con g , y obtenemos que S está acotado de L 1 a L p . Además, dado que g está en L p obtenemos, en vista de la desigualdad de Hölder, que S está acotado de L q a L ∞ , donde nuevamente1/pag + 1/q= 1 . Así que interpolando obtenemos
La transformada de Hilbert
La transformada de Hilbert de f : R → C está dada por
Se deduce del teorema de Plancherel que la transformada de Hilbert mapea L 2 ( R ) acotada en sí misma.
Sin embargo, la transformada de Hilbert no está limitada a L 1 ( R ) o L ∞ ( R ) , por lo que no podemos usar el teorema de interpolación de Riesz-Thorin directamente. Para ver por qué no tenemos estos límites de punto final, basta con calcular la transformada de Hilbert de las funciones simples 1 (−1,1) ( x ) y 1 (0,1) ( x ) - 1 (0,1) ( - x ) . Sin embargo, podemos demostrar que
Comparación con el método de interpolación real
Si bien el teorema de interpolación de Riesz-Thorin y sus variantes son herramientas poderosas que producen una estimación clara de las normas interpoladas del operador, adolecen de numerosos defectos: algunos menores, otros más graves. Nota primero que la naturaleza analítica compleja de la prueba de las fuerzas teorema de interpolación de Riesz-Thorin el campo escalar sea C . Para las funciones de valor real extendido, esta restricción puede evitarse redefiniendo la función para que sea finita en todas partes; es posible, ya que toda función integrable debe ser finita en casi todas partes. Una desventaja más seria es que, en la práctica, muchos operadores, como el operador máximo de Hardy-Littlewood y los operadores de Calderón-Zygmund , no tienen buenas estimaciones de punto final. [7] En el caso de la transformada de Hilbert en la sección anterior, pudimos evitar este problema calculando explícitamente las estimaciones de la norma en varios puntos intermedios. Esto es engorroso y, a menudo, no es posible en escenarios más generales. Dado que muchos de estos operadores satisfacen las estimaciones de tipo débil
Teorema de mitagin
B. Mityagin amplió el teorema de Riesz-Thorin; esta extensión se formula aquí en el caso especial de espacios de sucesiones con bases incondicionales (cf. más adelante).
Asumir:
Luego
para cualquier espacio de Banach incondicional de secuencias X , es decir, para cualquier y cualquier , .
La demostración se basa en el teorema de Kerin-Milman .
Ver también
- Teorema de interpolación de Marcinkiewicz
- Espacio de interpolación
Notas
- ↑ Stein y Weiss (1971) y Grafakos (2010) usan operadores en funciones simples, y Muscalu y Schlag (2013) usan operadores en subconjuntos genéricos densos de la intersección L p 0 ∩ L p 1 . Por el contrario, Duoanddikoetxea (2001), Tao (2010) y Stein y Shakarchi (2011) utilizan la formulación sumset, que adoptamos en esta sección.
- ^ Riesz (1927). La demostración hace uso de resultados de convexidad en la teoría de formas bilineales. Por esta razón, muchas referencias clásicas como Stein y Weiss (1971) se refieren al teorema de interpolación de Riesz-Thorin como el teorema de la convexidad de Riesz .
- ↑ Thorin (1948)
- ↑ Tao, Terry (25 de agosto de 2008). "Artículo de Trucos Wiki: El truco del poder tensor" . ¿Qué hay de nuevo ? Ejercicio anterior al ejemplo 5 . Consultado el 17 de noviembre de 2020 .
- ^ Stein (1956). Comoseñala Charles Fefferman en su ensayo en Fefferman, Fefferman, Wainger (1995), la demostración del teorema de interpolación de Stein es esencialmente la del teorema de Riesz-Thorin con la letra z agregada al operador. Para compensar esto,se utilizauna versión más sólida del teorema de tres líneas de Hadamard , debido a Isidore Isaac Hirschman, Jr. , para establecer los límites deseados. Ver Stein y Weiss (1971) para una demostración detallada y una publicación de blog de Tao para una exposición de alto nivel del teorema.
- ^ Fefferman y Stein (1972)
- ↑ Se cita a Elias Stein por decir que los operadores interesantes en el análisis armónico rara vez están limitados a L 1 y L ∞ .
Referencias
- Dunford, N .; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Partes I y II , Wiley-Interscience.
- Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972), "Espacios de varias variables ", Acta Mathematica , 129 : 137-193, doi : 10.1007 / bf02392215
- Glazman, MI; Lyubich, Yu.I. (1974), Análisis lineal de dimensión finita: una presentación sistemática en forma de problema , Cambridge, Mass .: The MIT Press. Traducido del ruso y editado por GP Barker y G. Kuerti.
- Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
- Mitjagin [Mityagin], BS (1965), "Un teorema de interpolación para espacios modulares (ruso)", Mat. Sb. , Serie nueva, 66 (108): 473–482.
- Thorin, GO (1948), "Teoremas de convexidad generalizando los de M. Riesz y Hadamard con algunas aplicaciones", Comm. Sem. Matemáticas. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Estera. Sem.] , 9 : 1–58, MR 0025529
- Riesz, Marcel (1927), "Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires", Acta Mathematica , 49 (3-4): 465-497, doi : 10.1007 / bf02564121
- Stein, Elias M. (1956), "Interpolación de operadores lineales", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 83 (2): 482–492, doi : 10.1090 / s0002-9947-1956-0082586-0
- Stein, Elias M .; Shakarchi, Rami (2011), Análisis funcional: Introducción a otros temas de análisis , Princeton University Press
- Stein, Elias M .; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos , Princeton University Press
enlaces externos
- "Teorema de la convexidad de Riesz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]