En finanzas matemáticas , la fórmula de Margrabe [1] es una fórmula de valoración de opciones aplicable a una opción para intercambiar un activo de riesgo por otro activo de riesgo al vencimiento. Fue derivado por William Margrabe (PhD Chicago) en 1978. El artículo de Margrabe ha sido citado por más de 2000 artículos posteriores. [2]
Fórmula
Suponga que S 1 (t) y S 2 (t) son los precios de dos activos de riesgo en el momento t , y que cada uno tiene un rendimiento de dividendos continuo constante q i . La opción, C , que deseamos precio le da al comprador el derecho, pero no la obligación, de intercambiar el segundo activo por primera en el momento de la madurez T . En otras palabras, su recompensa, C (T) , es max (0, S 1 (T) - S 2 (T)) .
Si las volatilidades de S i son σ i , entonces, donde ρ es el coeficiente de correlación de Pearson de los movimientos brownianos de los S i .
La fórmula de Margrabe establece que el precio justo de la opción en el momento 0 es:
- dónde:
- son las tasas de dividendo esperadas de los precios bajo la medida neutral al riesgo apropiada,
- denota la función de distribución acumulativa para una normal estándar ,
- ,
- .
Derivación
El modelo de mercado de Margrabe supone solo la existencia de los dos activos de riesgo, cuyos precios, como es habitual, se supone que siguen un movimiento browniano geométrico . Las volatilidades de estos movimientos brownianos no necesitan ser constantes, pero es importante que la volatilidad de S 1 / S 2 , σ , sea constante. En particular, el modelo no asume la existencia de un activo sin riesgo (como un bono cupón cero ) o cualquier tipo de tasa de interés . El modelo no requiere una medida de probabilidad neutral al riesgo equivalente, sino una medida equivalente bajo S 2 .
La fórmula se prueba rápidamente al reducir la situación a una en la que podemos aplicar la fórmula de Black-Scholes .
- Primero, considere ambos activos con un precio en unidades de S 2 (esto se llama 'usar S 2 como numerario '); esto significa que una unidad del primer activo ahora vale S 1 / S 2 unidades del segundo activo, y una unidad del segundo activo vale 1.
- Bajo este cambio de precios de numerario, el segundo activo es ahora un activo sin riesgo y su tasa de dividendos q 2 es la tasa de interés. La recompensa de la opción, cuyo precio se modifica bajo este cambio de numerario, es max (0, S 1 (T) / S 2 (T) - 1) .
- Entonces, la opción original se ha convertido en una opción de compra sobre el primer activo (con su precio numerario) con un ejercicio de 1 unidad del activo sin riesgo. Tenga en cuenta que la tasa de dividendos q 1 del primer activo sigue siendo la misma incluso con el cambio de precio.
- Aplicando la fórmula de Black-Scholes con estos valores como entradas apropiadas, por ejemplo, valor inicial del activo S 1 (0) / S 2 (0) , tasa de interés q 2 , volatilidad σ , etc., nos da el precio de la opción bajo numerario. precios.
- Dado que el precio de opción resultante está en unidades de S 2 , multiplicar por S 2 (0) deshará nuestro cambio de numerario y nos dará el precio en nuestra moneda original, que es la fórmula anterior. Alternativamente, se puede demostrar mediante el teorema de Girsanov .
Enlaces externos y referencias
Notas
- ^ William Margrabe, "El valor de una opción para intercambiar un activo por otro" , Journal of Finance , vol. 33, núm. 1, (marzo de 1978), págs. 177-186.
- ^ Google Académico 's 'cita' página para este artículo
Referencia primaria
- William Margrabe, "El valor de una opción para intercambiar un activo por otro" , Journal of Finance , vol. 33, núm. 1, (marzo de 1978), págs. 177-186.
Discusión
- Mark Davis, Imperial College London, Opciones de activos múltiples
- Rolf Poulsen, Universidad de Gotemburgo, The Margrabe Formula