Finanzas matemáticas

Las finanzas matemáticas , también conocidas como finanzas cuantitativas y matemáticas financieras , es un campo de las matemáticas aplicadas , que se ocupa de la modelización matemática de los mercados financieros . Generalmente, las finanzas matemáticas derivarán y extenderán los modelos matemáticos o numéricos sin necesariamente establecer un vínculo con la teoría financiera, tomando como entrada los precios de mercado observados. Se requiere consistencia matemática, no compatibilidad con la teoría económica. Así, por ejemplo, mientras que un economista financiero podría estudiar las razones estructurales por las que una empresa puede tener un determinado precio por acción, un matemático financiero puede tomar el precio de la acción como un hecho e intentar usar el cálculo estocástico para obtener el valor correspondiente de los derivados de la acción ( ver: Valoración de opciones ; Modelado financiero ; Fijación de precios de activos ). El teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje es uno de los teoremas clave en las finanzas matemáticas, mientras que la ecuación y la fórmula de Black-Scholes se encuentran entre los resultados clave. ^[1]

Las finanzas matemáticas también se superponen en gran medida con los campos de las finanzas computacionales y la ingeniería financiera . El último se enfoca en aplicaciones y modelado, a menudo con la ayuda de modelos de activos estocásticos ( ver: Analista cuantitativo ), mientras que el primero se enfoca, además del análisis, en construir herramientas de implementación para los modelos. En general, existen dos ramas independientes de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: fijación de precios de derivados por un lado, y gestión de riesgos y carteras por el otro. ^[2]

El matemático francés Louis Bachelier es considerado el autor del primer trabajo académico sobre finanzas matemáticas, publicado en 1900. Pero las finanzas matemáticas surgieron como una disciplina en la década de 1970, siguiendo el trabajo de Fischer Black , Myron Scholes y Robert Merton sobre la teoría de precios de opciones.

Hoy en día, muchas universidades ofrecen programas de grado e investigación en finanzas matemáticas.

Historia: Q contra P

Hay dos ramas distintas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: fijación de precios de derivados y gestión de riesgos y carteras. Una de las principales diferencias es que utilizan diferentes probabilidades, como la probabilidad neutral al riesgo (o probabilidad de precio de arbitraje), denotada por "Q", y la probabilidad real (o actuarial), denotada por "P".

Precios de derivados: el mundo Q

El mundo Q

Objetivo	"extrapolar el presente"
Ambiente	probabilidad neutral al riesgo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
Procesos	martingalas de tiempo continuo
Dimensión	bajo
Herramientas	Cálculo de itō, PDE
Desafíos	calibración
Negocio	lado de la venta

Artículo principal: medida neutral al riesgo

Más información: modelo Black-Scholes , modelo browniano de mercados financieros , precios de Martingala y análisis cuantitativo (finanzas) § Historia

El objetivo de la fijación de precios de derivados es determinar el precio justo de un valor dado en términos de valores más líquidos cuyo precio está determinado por la ley de oferta y demanda . El significado de "justo" depende, por supuesto, de si uno considera comprar o vender el valor. Ejemplos de valores que se cotizan son opciones simples y exóticas , bonos convertibles , etc.

Una vez que se ha determinado un precio justo, el comerciante del lado de la venta puede hacer un mercado con el valor. Por lo tanto, la fijación de precios de derivados es un ejercicio complejo de "extrapolación" para definir el valor de mercado actual de un título, que luego es utilizado por la comunidad vendedora. La fijación de precios de derivados cuantitativos fue iniciada por Louis Bachelier en The Theory of Speculation ("Théorie de la spéculation", publicada en 1900), con la introducción del proceso más básico e influyente, el movimiento browniano , y sus aplicaciones a la fijación de precios de opciones. . ^{[3] [4]} El movimiento browniano se deriva utilizando la ecuación de Langevin y el paseo aleatorio discreto . ^[5]Bachelier modeló la serie temporal de cambios en el logaritmo de los precios de las acciones como un recorrido aleatorio en el que los cambios a corto plazo tenían una varianza finita . Esto hace que los cambios a más largo plazo sigan una distribución gaussiana . ^[6]

La teoría permaneció inactiva hasta que Fischer Black y Myron Scholes , junto con las contribuciones fundamentales de Robert C. Merton , aplicaron el segundo proceso más influyente, el movimiento browniano geométrico , al precio de las opciones . Por ello, M. Scholes y R. Merton fueron galardonados con el Premio Nobel de Ciencias Económicas en 1997 . Black no era elegible para el premio debido a su muerte en 1995. ^[7]

El siguiente paso importante fue el teorema fundamental de la fijación de precios de activos de Harrison y Pliska (1981), según el cual el precio actual P ₀ adecuadamente normalizado de un valor está libre de arbitraje y, por lo tanto, es verdaderamente justo solo si existe un proceso estocástico P _t con valor esperado constante que describe su evolución futura: ^[8]

${\displaystyle P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})}$

( 1 )

Un proceso que satisface ( 1 ) se llama " martingala ". Una martingala no recompensa el riesgo. Por lo tanto, la probabilidad del proceso de precio normalizado de los valores se denomina "neutral al riesgo" y generalmente se indica con la letra de fuente de la pizarra " ".${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La relación ( 1 ) debe ser válida para todos los tiempos t: por lo tanto, los procesos utilizados para la fijación de precios de derivados se establecen naturalmente en tiempo continuo.

Los quants que operan en el mundo Q de la fijación de precios de derivados son especialistas con un profundo conocimiento de los productos específicos que modelan.

Los valores se cotizan individualmente y, por lo tanto, los problemas en el mundo Q son de baja dimensión por naturaleza. La calibración es uno de los principales desafíos del mundo Q: una vez que se ha calibrado un proceso paramétrico de tiempo continuo para un conjunto de valores negociados a través de una relación como ( 1 ), se utiliza una relación similar para definir el precio de nuevos derivados.

Las principales herramientas cuantitativas necesarias para manejar procesos Q en tiempo continuo son el cálculo estocástico , la simulación y las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de Itô .

Gestión de riesgos y carteras: el mundo P

El mundo P

Objetivo	"modelar el futuro"
Ambiente	probabilidad del mundo real ${\displaystyle \mathbb {P} }$
Procesos	series de tiempo discreto
Dimensión	grande
Herramientas	estadística multivariante
Desafíos	Estimacion
Negocio	lado de compra

La gestión de riesgos y carteras tiene como objetivo modelar la distribución de probabilidad derivada estadísticamente de los precios de mercado de todos los valores en un horizonte de inversión futuro determinado.
Esta distribución de probabilidad "real" de los precios de mercado se indica típicamente con la letra de fuente de pizarra " ", en contraposición a la "probabilidad" " neutral al riesgo " que se utiliza en la fijación de precios de los derivados. Sobre la base de la distribución P, la comunidad de compradores toma decisiones sobre qué valores comprar para mejorar el perfil de pérdidas y ganancias prospectivo de sus posiciones consideradas como cartera. Cada vez más, los elementos de este proceso se automatizan; consulte Esquema de finanzas § Inversión cuantitativa para obtener una lista de artículos relevantes.${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Por su trabajo pionero, Markowitz y Sharpe , junto con Merton Miller , compartieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1990 , por primera vez otorgado por un trabajo en finanzas.

El trabajo de selección de carteras de Markowitz y Sharpe introdujo las matemáticas en la gestión de inversiones . Con el tiempo, las matemáticas se han vuelto más sofisticadas. Gracias a Robert Merton y Paul Samuelson, los modelos de un período fueron reemplazados por modelos de movimiento browniano de tiempo continuo , y la función de utilidad cuadrática implícita en la optimización de la varianza media fue reemplazada por funciones de utilidad cóncavas crecientes más generales. ^[9] Además, en los últimos años la atención se centró en la estimación del riesgo, es decir, los peligros de asumir incorrectamente que el análisis avanzado de series de tiempo por sí solo puede proporcionar estimaciones completamente precisas de los parámetros del mercado. ^[10]

Se ha dedicado mucho esfuerzo al estudio de los mercados financieros y cómo los precios varían con el tiempo. Charles Dow , uno de los fundadores de Dow Jones & Company y The Wall Street Journal , enunció un conjunto de ideas sobre el tema que ahora se denominan Dow Theory . Esta es la base del llamado método de análisis técnico para intentar predecir cambios futuros. Uno de los principios del "análisis técnico" es que las tendencias del mercado dan una indicación del futuro, al menos a corto plazo. Las afirmaciones de los analistas técnicos son cuestionadas por muchos académicos. ^{[ cita requerida ]}

Crítica

Ver también: Economía financiera § Desafíos y críticas , Modelos financieros con distribuciones de cola larga y agrupamiento de volatilidad e Ingeniería financiera § Críticas

A lo largo de los años, se han desarrollado modelos matemáticos y estrategias de fijación de precios de derivados cada vez más sofisticados, pero su credibilidad se vio dañada por la crisis financiera de 2007-2010 . La práctica contemporánea de las finanzas matemáticas ha sido criticada por figuras dentro del campo, en particular por Paul Wilmott y por Nassim Nicholas Taleb , en su libro The Black Swan . ^[11] Taleb afirma que los precios de los activos financieros no pueden caracterizarse por los modelos simples que se utilizan actualmente, lo que hace que gran parte de la práctica actual sea, en el mejor de los casos, irrelevante y, en el peor de los casos, peligrosamente engañosa. Wilmott y Emanuel Derman publicaron el Manifiesto de los modeladores financierosen enero de 2009 ^[12], que aborda algunas de las preocupaciones más graves. Organismos como el Institute for New Economic Thinking ahora están intentando desarrollar nuevas teorías y métodos. ^[13]

En general, se dice cada vez más que modelar los cambios mediante distribuciones con varianza finita es inapropiado. ^[14] En la década de 1960, Benoit Mandelbrot descubrió que los cambios en los precios no siguen una distribución gaussiana , sino que están mejor modelados por distribuciones alfa estables de Lévy . ^[15] La escala de cambio, o volatilidad, depende de la longitud del intervalo de tiempo a una potencia un poco más de 1/2. Los cambios grandes hacia arriba o hacia abajo son más probables de lo que se calcularía usando una distribución gaussiana con una desviación estándar estimada .. Pero el problema es que no resuelve el problema, ya que hace que la parametrización sea mucho más difícil y el control de riesgos sea menos confiable. ^[11] Véase también Proceso de variación gamma # Precio de la opción .

Artículos de finanzas matemáticas

Ver también: Esquema de finanzas § Matemáticas financieras , Esquema de finanzas § Herramientas matemáticas y Esquema de finanzas § Fijación de precios de derivados

Herramientas matemáticas

• Análisis asintótico
• Cálculo
• Cópulas , incluida la gaussiana
• Ecuaciones diferenciales
• Valor esperado
• Teoría ergódica
• Fórmula de Feynman-Kac
• Transformada de Fourier
• Teorema de girsanov
• El lema de Itô
• Teorema de representación de martingala
• Modelos matemáticos
• Optimización matemática
  • Programación lineal
  • Programación no lineal
  • Programación cuadrática
• Método de Montecarlo
• Análisis numérico
  • Cuadratura gaussiana
• Análisis real
• Ecuaciones diferenciales parciales
  • Ecuación de calor
  • Ecuaciones diferenciales parciales numéricas
    • Método de manivela-Nicolson
    • Método de diferencias finitas
• Probabilidad
• Distribuciones de probabilidad
  • Distribución binomial
  • Distribución SU de Johnson
  • Distribución logarítmica normal
  • Distribución t de Student
• Funciones cuantiles
• Derivado de radón-Nikodym
• Medida neutral al riesgo
• Optimización de escenarios
• Cálculo estocástico
  • movimiento browniano
  • Proceso Lévy
• Ecuación diferencial estocástica
• Optimización estocástica
• Volatilidad estocástica
• Análisis de supervivencia
• Valor en riesgo
• Volatilidad
  • Modelo ARCH
  • Modelo GARCH

Precios de derivados

• El modelo browniano de los mercados financieros
• Supuestos de precios racionales
  • Valoración neutral al riesgo
  • Precios sin arbitraje
• Ajustes de valoración
  • Ajuste de valoración crediticia
  • XVA
• Fórmula de precio a plazo
• Precios de contratos de futuros
• Valoración swap
  • Swap de divisas # Valoración y fijación de precios
  • Swap de tipos de interés # Valoración y fijación de precios
    • Marco de múltiples curvas
  • Swap de varianza # Precios y valoración
  • Swap de activos # Cálculo del diferencial de swap de activos
  • Permuta de incumplimiento crediticio #Precios y valoración
• Opciones
  • Paridad put-call (relaciones de arbitraje para opciones)
  • Valor intrínseco , valor de tiempo
  • Moneyness
  • Modelos de precios
    • Modelo Black – Scholes
    • Modelo negro
    • Modelo de opciones binomiales
      • Árbol binomial implícito
      • Árbol binomial de Edgeworth
    • Modelo de opción Monte Carlo
    • Volatilidad implícita , sonrisa de volatilidad
    • Volatilidad local
    • Volatilidad estocástica
      • Modelo de elasticidad de varianza constante
      • Modelo Heston
        • Salto de volatilidad estocástico
      • Modelo de volatilidad SABR
    • Markov conmutación multifractal
    • Los griegos
    • Métodos de diferencias finitas para la fijación de precios de opciones
    • Precios de Vanna – Volga
    • Árbol trinomial
      • Árbol trinomial implícito
    • Modelo Garman-Kohlhagen
    • Modelo de celosía (finanzas)
    • Fórmula de Margrabe
  • Precios de las opciones estadounidenses
    • Barone-Adesi y Whaley
    • Bjerksund y Stensland
    • Aproximación de Black
    • Montecarlo menos cuadrado
    • Parada óptima
    • Roll-Geske-Whaley
• Derivados de tipos de interés
  • Modelo negro
    • tapas y pisos
    • permutas
    • Opciones de bonos
  • Modelos de tasa corta
    • Modelo de Rendleman-Bartter
    • Modelo Vasicek
    • Modelo Ho – Lee
    • Modelo Hull-White
    • Modelo de Cox-Ingersoll-Ross
    • Modelo Black – Karasinski
    • Modelo Black – Derman – Toy
    • Modelo de Kalotay – Williams – Fabozzi
    • Modelo Longstaff-Schwartz
    • Modelo Chen
  • Modelos basados ​​en tasas futuras
    • Modelo de mercado LIBOR (Brace – Gatarek – Musiela Model, BGM)
    • Modelo de Heath – Jarrow – Morton (HJM)

Modelado de carteras

Más información: Esquema de las finanzas § Teoría de la cartera y Esquema de las finanzas § Inversión cuantitativa

Ver también

• Modelo browniano de mercados financieros
• Finanzas computacionales
• Derivados (finanzas) , lista de temas de derivados
• Modelo económico
• Econofísica
• Economía Financiera
• Ingeniería financiera
• Modelización financiera § Finanzas cuantitativas
• Asociación Internacional de Swaps y Derivados
• Índice de artículos contables
• Lista de economistas
• Maestría en Finanzas Cuantitativas
• Esquema de la economía
• Esquema de finanzas
• Física de los mercados financieros
• Finanzas conductuales cuantitativas
• Finanzas estadísticas
• Análisis técnico
• XVA
• Finanzas cuánticas

Notas

1. Johnson, Tim (1 de septiembre de 2009). "¿Qué son las matemáticas financieras?" . + Revista Plus . Consultado el 1 de marzo de 2021 .
2. "Finanzas cuantitativas" . About.com . Consultado el 28 de marzo de 2014 .
3. E., Shreve, Steven (2004). Cálculo estocástico para finanzas . Nueva York: Springer. ISBN 9780387401003. OCLC  53289874 .
4. Stephen., Blyth (2013). Introducción a las finanzas cuantitativas . Oxford University Press, Estados Unidos. pag. 157. ISBN 9780199666591. OCLC  868286679 .
5. B., Schmidt, Anatoly (2005). Finanzas cuantitativas para físicos: una introducción . San Diego, California: Elsevier Academic Press. ISBN 9780080492209. OCLC  57743436 .
6. Soltero, Louis. "La teoría de la especulación" . Consultado el 28 de marzo de 2014 .
7. Lindbeck, Assar. "El Premio Sveriges Riksbank de Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel 1969-2007" . Premio Nobel . Consultado el 28 de marzo de 2014 .
8. Brown, Angus (01 de diciembre de 2008). "Un negocio arriesgado: cómo valorar los derivados" . Precio + Revista . Consultado el 28 de marzo de 2014 .
9. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steve (1998). Métodos de finanzas matemáticas . Secaucus, Nueva Jersey, EE.UU .: Springer-Verlag New York, Incorporated. ISBN 9780387948393.
10. Meucci, Attilio (2005). Asignación de activos y riesgos . Saltador. ISBN 9783642009648.
11. Taleb, Nassim Nicholas (2007). El cisne negro: el impacto de lo altamente improbable . Comercio aleatorio de casas. ISBN 978-1-4000-6351-2.
12. "Manifiesto de los modeladores financieros" . Blog de Paul Wilmott. 8 de enero de 2009. Archivado desde el original el 8 de septiembre de 2014 . Consultado el 1 de junio de 2012 .
13. Gillian Tett (15 de abril de 2010). "Los matemáticos deben salir de sus torres de marfil" . Financial Times .
14. Svetlozar T. Rachev; Frank J. Fabozzi ; Christian Menn (2005). Distribuciones de rendimiento de activos sesgadas y de cola gruesa: implicaciones para la gestión de riesgos, la selección de carteras y el precio de las opciones . John Wiley e hijos . ISBN 978-0471718864.
15. B. Mandelbrot , "La variación de ciertos precios especulativos" , The Journal of Business 1963

Lectura adicional

• Nicole El Karoui , "El futuro de las matemáticas financieras" , ParisTech Review , 6 de septiembre de 2013
• Harold Markowitz , "Selección de cartera", The Journal of Finance , 7, 1952, págs. 77-91
• Attilio Meucci , "'P Versus Q': Diferencias y puntos en común entre las dos áreas de las finanzas cuantitativas" , GARP Risk Professional , febrero de 2011, págs. 41–44
• William F. Sharpe , Inversiones , Prentice-Hall, 1985