Función de Mathieu

En matemáticas , las funciones de Mathieu , a veces llamadas funciones angulares de Mathieu, son soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu.

donde y son parámetros. Fueron presentados por primera vez por Émile Léonard Mathieu , quien los encontró mientras estudiaba parches de tambor elípticos vibrantes. ^{[1] [2] [3]} Tienen aplicaciones en muchos campos de las ciencias físicas, como la óptica , la mecánica cuántica y la relatividad general . Tienden a ocurrir en problemas que involucran movimiento periódico, o en el análisis de problemas de valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales que poseen simetría elíptica . ^[4]${\ estilo de visualización a}$${\ Displaystyle q}$

En algunos usos, la función de Mathieu se refiere a soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu para valores arbitrarios de y . Cuando no puede surgir confusión, otros autores usan el término para referirse específicamente a - o - soluciones periódicas, que existen solo para valores especiales de y . ^[5] Más precisamente, para dado (real) tales soluciones periódicas existen para un número infinito de valores de , llamados números característicos , convencionalmente indexados como dos secuencias separadas y , para . Las funciones correspondientes se denotan y , respectivamente. A veces también se les conoce como coseno-elíptico.${\ estilo de visualización a}$${\ Displaystyle q}$${\ estilo de visualización \ pi}$${\ estilo de visualización 2 \ pi}$${\ estilo de visualización a}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle q}$${\ estilo de visualización a}$${\displaystyle a_{n}(q)}$${\ Displaystyle b_ {n} (q)}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$y seno-elíptica , o funciones de Mathieu del primer tipo .

Como resultado de asumir que es real, tanto los números característicos como las funciones asociadas tienen valores reales. ^[6]${\ Displaystyle q}$

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y puede clasificarse además por paridad y periodicidad (ambas con respecto a ), de la siguiente manera: ^[5]${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\ estilo de visualización x}$

Un ejemplo del teorema de Floquet, con , , (parte real, rojo; parte imaginaria, verde)${\ Displaystyle PAG (a, q, x)}$${\ estilo de visualización a = 1}$${\ estilo de visualización q = 1/5}$${\ estilo de visualización \ mu \ aproximadamente 1 + 0.0995i}$

Gráficos de muestra de funciones de Mathieu de primer tipo

Parcela de para variar${\displaystyle {\text{ce}}_{1}(x,q)}$${\ Displaystyle q}$