Parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy
En la teoría de la probabilidad , la distribución de Cauchy "estándar" es la distribución de probabilidad cuya función de densidad de probabilidad (pdf) es
por x real . Tiene una mediana de 0 y el primer y tercer cuartiles respectivamente -1 y +1. Generalmente, una distribución de Cauchy es cualquier distribución de probabilidad que pertenezca a la misma familia de escala de ubicación que esta. Por lo tanto, si X tiene una distribución de Cauchy estándar y μ es cualquier número real y σ > 0, entonces Y = μ + σX tiene una distribución de Cauchy cuya mediana es μ y cuyo primer y tercer cuartiles son respectivamente μ - σ y μ + σ .
La parametrización de McCullagh , introducida por Peter McCullagh , profesor de estadística en la Universidad de Chicago , usa los dos parámetros de la distribución no estandarizada para formar un único parámetro de valor complejo, específicamente, el número complejo θ = μ + iσ , donde i es la unidad imaginaria . También amplía el rango habitual de parámetros de escala para incluir σ <0.
Aunque el parámetro se expresa teóricamente mediante un número complejo, la densidad sigue siendo una densidad sobre la línea real. En particular, la densidad se puede escribir utilizando los parámetros de valor real μ y σ , que pueden tomar valores positivos o negativos, como
donde la distribución se considera degenerada si σ = 0. Se puede escribir una forma alternativa para la densidad usando el parámetro complejo θ = μ + iσ como
donde .
