En la teoría de la probabilidad , especialmente en la estadística matemática , una familia de escala de ubicación es una familia de distribuciones de probabilidad parametrizadas por un parámetro de ubicación y un parámetro de escala no negativo . Para cualquier variable aleatoria cuya función de distribución de probabilidad pertenece a tal familia, la función de distribución de también pertenece a la familia (donde significa " igual en distribución ", es decir, "tiene la misma distribución que"). Además, si y son dos variables aleatorias cuyas funciones de distribución son miembros de la familia, y suponiendo
- existencia de los dos primeros momentos y
- tiene media cero y varianza unitaria,
luego Se puede escribir como , dónde y son la media y la desviación estándar de .
En otras palabras, una clase de distribuciones de probabilidad es una familia de escala de ubicación si para todas las funciones de distribución acumulativa y cualquier número real y , la función de distribución también es miembro de .
- Si tiene una función de distribución acumulativa , luego tiene una función de distribución acumulativa .
- Si es una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad , luego es una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad .
- Si es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad , luego es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad .
En la teoría de decisiones , si todas las distribuciones alternativas disponibles para un tomador de decisiones están en la misma familia de escala de ubicación y los dos primeros momentos son finitos, entonces se puede aplicar un modelo de decisión de dos momentos y la toma de decisiones se puede enmarcar en términos de las medias y las variaciones de las distribuciones. [1] [2] [3]
Ejemplos de
A menudo, las familias de escala de ubicación están restringidas a aquellas en las que todos los miembros tienen la misma forma funcional. La mayoría de las familias a escala de ubicación son univariadas , aunque no todas. Las familias conocidas en las que la forma funcional de la distribución es consistente en toda la familia incluyen las siguientes:
Conversión de una distribución única en una familia de escala de ubicación
A continuación se muestra cómo implementar una familia de escala de ubicación en un paquete estadístico o entorno de programación donde solo están disponibles las funciones para la versión "estándar" de una distribución. Está diseñado para R, pero debería generalizarse a cualquier idioma y biblioteca.
El ejemplo aquí es de la de Student t distribución t , que normalmente se proporciona en R solamente en su forma estándar, con un solo grado de libertad parámetro df
. Las versiones siguientes con un _ls
apéndice muestran cómo generalizar esto a una distribución t de Student generalizada con un parámetro de ubicación mu
y un parámetro de escala arbitrarios sigma
.
Función de densidad de probabilidad (PDF): | dt_ls(x, df, mu, sigma) = | 1/sigma * dt((x - mu)/sigma, df) |
Función de distribución acumulada (CDF): | pt_ls(x, df, mu, sigma) = | pt((x - mu)/sigma, df) |
Función cuantil (CDF inversa): | qt_ls(prob, df, mu, sigma) = | qt(prob, df)*sigma + mu |
Genere una variante aleatoria : | rt_ls(df, mu, sigma) = | rt(df)*sigma + mu |
Tenga en cuenta que las funciones generalizadas no tienen desviación estándar sigma
ya que la distribución t estándar no tiene una desviación estándar de 1.
Referencias
- ^ Meyer, Jack (1987). "Modelos de decisión de dos momentos y maximización de la utilidad esperada". American Economic Review . 77 (3): 421–430. JSTOR 1804104 .
- ^ Mayshar, J. (1978). "Una nota sobre la crítica de Feldstein al análisis de la varianza media". Revisión de estudios económicos . 45 (1): 197-199. JSTOR 2297094 .
- ^ Sinn, H.-W. (1983). Decisiones económicas bajo incertidumbre (Segunda edición en inglés). Holanda Septentrional.