Analogía de la membrana

La analogía de la membrana elástica , también conocida como analogía de la película de jabón , fue publicada por primera vez por el aerodinámico pionero Ludwig Prandtl en 1903. ^{[1] [2]} Describe la distribución de la tensión en una barra larga en torsión . La sección transversal de la barra es constante a lo largo de su longitud y no necesita ser circular. La ecuación diferencialque gobierna la distribución de la tensión en la barra en torsión tiene la misma forma que la ecuación que gobierna la forma de una membrana bajo presión diferencial. Por lo tanto, para descubrir la distribución de la tensión en la barra, todo lo que hay que hacer es cortar la forma de la sección transversal de una pieza de madera, cubrirla con una película de jabón y aplicar una presión diferencial a través de ella. Entonces, la pendiente de la película de jabón en cualquier área de la sección transversal es directamente proporcional a la tensión en la barra en el mismo punto de su sección transversal.

Aplicación en secciones transversales abiertas de paredes delgadas

Si bien la analogía de la membrana permite determinar experimentalmente la distribución de esfuerzos en cualquier sección transversal, también permite determinar la distribución de esfuerzos en secciones transversales abiertas de paredes delgadas mediante el mismo enfoque teórico que describe el comportamiento de las secciones rectangulares. Usando la analogía de la membrana, cualquier sección transversal de pared delgada se puede "estirar" en un rectángulo sin afectar la distribución de la tensión bajo torsión. El esfuerzo cortante máximo, por lo tanto, ocurre en el borde del punto medio de la sección transversal estirada, y es igual a , donde T es el par aplicado, b es la longitud de la sección transversal estirada y t es el espesor de la cruz. sección.${\displaystyle 3T/bt^{2}}$

Se puede demostrar que la ecuación diferencial para la superficie de deflexión de una membrana homogénea, sometida a presión lateral uniforme y con tensión superficial uniforme y con el mismo contorno que la sección transversal de una barra sometida a torsión , tiene la misma forma que que rige la distribución de la tensión sobre la sección transversal de una barra sometida a torsión .

Esta analogía fue propuesta originalmente por Ludwig Prandtl en 1903. ^[3]

Otras aplicaciones

El concepto de membrana estirada de Prandtl se utilizó ampliamente en el campo del diseño de tubos de electrones ("tubos de vacío") (de 1930 a 1960) para modelar la trayectoria de los electrones dentro de un dispositivo. El modelo se construye estirando uniformemente una delgada hoja de goma sobre un marco y deformando la hoja hacia arriba con modelos físicos de electrodos, impresos en la hoja desde abajo. Todo el conjunto se inclina y las bolas de acero (como análogos de los electrones) ruedan por el conjunto y se anotan las trayectorias. La superficie curva que rodea a los "electrodos" representa el aumento complejo en la intensidad del campo a medida que el electrón análogo se acerca al "electrodo"; la distorsión hacia arriba en la hoja es una analogía cercana a la intensidad de campo.

Referencias

1. Prandtl, L .: "Zur torsion von prismatischen stäben", Phys. Zeitschr., 4 , págs. 758-770 (1903)
2. Love 1944, artículo 224, página 322.
3. Prandtl, L .: "Zur torsion von prismatischen stäben", Phys. Z., 4 , págs. 758-770 (1903).

• Bruhn, Elmer Franklin (1973). Análisis y diseño de estructuras de vehículos de vuelo. Indianápolis: Jacobs Publishing. ISBN 0-9615234-0-9.
• Con amor, AEH (1944). Un tratado sobre la teoría matemática de la elasticidad . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-60174-9.. Especialmente el Capítulo XIV, artículos 215 al 224. "Esta edición de Dover, publicada por primera vez en 1944, es una reedición íntegra e inalterada de la cuarta edición (1927)".
• Avances en Electrónica Volumen 2. 1950. p. 141.