Método de expansiones asintóticas emparejadas

En matemáticas , el método de expansiones asintóticas emparejadas es un enfoque común para encontrar una aproximación precisa a la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones . Se usa particularmente cuando se resuelven ecuaciones diferenciales singularmente perturbadas . Implica encontrar varias soluciones aproximadas diferentes, cada una de las cuales es válida (es decir, precisa) para parte del rango de la variable independiente, y luego combinar estas diferentes soluciones para dar una única solución aproximada que sea válida para todo el rango de valores de la variable independiente. En la literatura rusa, estos métodos se conocían con el nombre de "asintóticos intermedios" y se introdujeron en el trabajo deYakov Zeldovich y Grigory Barenblatt .

Descripción general del método

En una gran clase de problemas singularmente perturbados, el dominio puede dividirse en dos o más subdominios. En uno de estos, a menudo el más grande, la solución se aproxima con precisión mediante una serie asintótica ^{[1] que se} encuentra tratando el problema como una perturbación regular (es decir, estableciendo un parámetro relativamente pequeño en cero). Los otros subdominios consisten en una o más áreas pequeñas en las que esa aproximación es inexacta, generalmente porque los términos de perturbación en el problema no son despreciables allí. Estas áreas se denominan capas de transición y capas de límite o capas interiores dependiendo de si ocurren en el límite del dominio (como es el caso habitual en las aplicaciones) o dentro del dominio.

Se obtiene una aproximación en forma de serie asintótica en la (s) capa (s) de transición tratando esa parte del dominio como un problema de perturbación separado. Esta aproximación se llama la "solución interna" y la otra es la "solución externa", llamada así por su relación con la (s) capa (s) de transición. Las soluciones externas e internas se combinan a través de un proceso llamado "emparejamiento" de tal manera que se obtiene una solución aproximada para todo el dominio. ^{[2] [3] [4] [5]}

Un ejemplo simple

Considere el problema del valor límite

${\displaystyle \varepsilon y''+(1+\varepsilon )y'+y=0,}$

donde es una función de la variable de tiempo independiente , que varía de 0 a 1, las condiciones de contorno son y , y es un pequeño parámetro, tal que .${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle y(1)=1}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

Solución externa, válida para t  =  O (1)

Dado que es muy pequeño, nuestro primer enfoque es tratar la ecuación como un problema de perturbación regular, es decir, hacer la aproximación y, por lo tanto, encontrar la solución al problema.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =0}$

${\displaystyle y'+y=0.\,}$

Alternativamente, considere que cuando y son ambos de tamaño O (1), los cuatro términos en el lado izquierdo de la ecuación original son respectivamente de tamaño O ( ), O (1), O ( ) y O (1). El saldo de primer orden en esta escala de tiempo, válido en el límite distinguido , viene dado por el segundo y cuarto términos, es decir${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle y'+y=0.\,}$

Esto tiene solución

${\displaystyle y=Ae^{-t}\,}$

por alguna constante . Aplicando la condición de contorno , tendríamos ; aplicando la condición de contorno , tendríamos . Por lo tanto, es imposible satisfacer ambas condiciones de frontera, por lo que no es una aproximación válida para hacer en todo el dominio (es decir, este es un problema de perturbación singular ). De esto inferimos que debe haber una capa límite en uno de los puntos finales del dominio donde debe incluirse. Esta región será donde ya no sea despreciable en comparación con la variable independiente , es decir, y sean de tamaño comparable, es decir, la capa límite sea adyacente . Por lo tanto, la otra condición de frontera${\displaystyle A}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle A=0}$${\displaystyle y(1)=1}$${\displaystyle A=e}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle y(1)=1}$se aplica en esta región externa, por lo tanto , es una solución aproximada precisa al problema del valor límite original en esta región externa. Es la solución de primer orden.${\displaystyle A=e}$${\displaystyle y_{\mathrm {O} }=e^{1-t}\,}$

Solución interna, válida para t  =  O ( ε )

En la región interna, y ambos son diminutos, pero de tamaño comparable, por lo tanto, defina la nueva variable de tiempo O (1) . Cambie la escala del problema de valor límite original reemplazando con , y el problema se convierte en${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \tau =t/\varepsilon }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \tau \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}y''(\tau )+\left({1+\varepsilon }\right){\frac {1}{\varepsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,\,}$

que, después de multiplicar por y tomar , es${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =0}$

${\displaystyle y''+y'=0.\,}$

Alternativamente, considere que cuando se ha reducido al tamaño O ( ), entonces todavía es del tamaño O (1) (usando la expresión para ), por lo que los cuatro términos en el lado izquierdo de la ecuación original son respectivamente de tamaño O ( ^{- 1} ), O ( ^-1 ), O (1) y O (1). El saldo de orden adelantado en esta escala de tiempo, válido en el límite distinguido , viene dado por el primer y segundo términos, es decir${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{\mathrm {O} }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle y''+y'=0.\,}$

Esto tiene solución

${\displaystyle y=B-Ce^{-\tau }\,}$

para algunas constantes y . Dado que se aplica en esta región interna, esto da , por lo que una solución aproximada precisa al problema del valor límite original en esta región interna (es la solución de primer orden) es${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle B=C}$

${\displaystyle y_{\mathrm {I} }=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right).\,}$

Coincidencia

Usamos la coincidencia para encontrar el valor de la constante . La idea de emparejar es que las soluciones interna y externa deben coincidir para los valores de en una región intermedia (o superpuesta), es decir, dónde . Necesitamos que el límite exterior de la solución interior coincida con el límite interior de la solución exterior, es decir, que da .${\displaystyle B}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon \ll t\ll 1}$${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }y_{\mathrm {I} }=\lim _{t\to 0}y_{\mathrm {O} },\,}$${\displaystyle B=e}$

Solución compuesta

Para obtener nuestra solución compuesta final, emparejada, válida en todo el dominio, un método popular es el método uniforme. En este método, sumamos las aproximaciones interna y externa y restamos su valor superpuesto , que de otro modo se contabilizaría dos veces. El valor superpuesto es el límite exterior de la solución de la capa límite interior y el límite interior de la solución exterior; se encontró que estos límites eran iguales . Por lo tanto, la solución aproximada final a este problema de valor en la frontera es,${\displaystyle \,y_{\mathrm {overlap} }}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {I} }+y_{\mathrm {O} }-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}\right).\,}$

Tenga en cuenta que esta expresión se reduce correctamente a las expresiones para y cuando es O ( ) y O (1), respectivamente.${\displaystyle y_{\mathrm {I} }}$${\displaystyle y_{\mathrm {O} }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$

Precisión

Convergencia de aproximaciones. Las aproximaciones y las soluciones exactas, que son indistinguibles a esta escala, se muestran para varios . También se muestra la solución exterior. Tenga en cuenta que, dado que la capa límite se vuelve más estrecha con la disminución , las aproximaciones convergen a la solución exterior puntualmente , pero no de manera uniforme , en casi todas partes.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

Esta solución final satisface la ecuación diferencial original del problema (que se muestra al sustituirla y sus derivadas en la ecuación original). Además, las condiciones de contorno producidas por esta solución final coinciden con los valores dados en el problema, hasta un múltiplo constante. Esto implica, debido a la singularidad de la solución, que la solución asintótica emparejada es idéntica a la solución exacta hasta un múltiplo constante. Este no es necesariamente siempre el caso, los términos restantes deben ir a cero de manera uniforme como .${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

Nuestra solución no solo resuelve con éxito aproximadamente el problema en cuestión, sino que se aproxima mucho a la solución exacta del problema. Sucede que se encuentra fácilmente que este problema en particular tiene una solución exacta

${\displaystyle y(t)={\frac {e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}{e^{-1}-e^{-1/\varepsilon }}},\,}$

que tiene la misma forma que la solución aproximada, por la constante de multiplicación. La solución aproximada es el primer término en una expansión binomial de la solución exacta en potencias de .${\displaystyle e^{1-1/\varepsilon }}$

Ubicación de la capa límite

Convenientemente, podemos ver que la capa límite, donde y son grandes, está cerca , como supusimos anteriormente. Si hubiéramos supuesto que estaba en el otro extremo y procediéramos a realizar el cambio de escala , nos habría resultado imposible satisfacer la condición de coincidencia resultante. Para muchos problemas, este tipo de prueba y error es la única forma de determinar la verdadera ubicación de la capa límite. ^[2]${\displaystyle y'}$${\displaystyle y''}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \tau =(1-t)/\varepsilon }$

Problemas más difíciles

El problema anterior es un ejemplo simple porque es una sola ecuación con una sola variable dependiente y hay una capa límite en la solución. Los problemas más difíciles pueden contener varias variables co-dependientes en un sistema de varias ecuaciones y / o con varias capas fronterizas y / o interiores en la solución.

A menudo es deseable encontrar más términos en las expansiones asintóticas tanto de la solución externa como de la interna. La forma apropiada de estas expansiones no siempre es clara: mientras que una expansión en serie de potencias puede funcionar, a veces la forma apropiada implica potencias fraccionarias de funciones como , etcétera. Como en el ejemplo anterior, obtendremos expansiones externas e internas con algunos coeficientes que deben ser determinados por emparejamiento. ^[6]${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \log \varepsilon }$

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales de segundo orden similares a Schrödinger

Dingle y Müller-Kirsten han desarrollado y utilizado ampliamente un método de expansiones asintóticas emparejadas, con emparejamiento de soluciones en el dominio común de validez, para la derivación de expansiones asintóticas de las soluciones y números característicos (límites de banda) de tipo Schrödinger. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con potenciales periódicos - en particular para la ecuación de Mathieu ^[7] (mejor ejemplo), ecuaciones de ondas elipsoidales y de Lamé, ^[8] ecuaciones de ondas esferoidales oblatas ^[9] y alargadas ^[10] y ecuaciones con potenciales anarmónicos . ^[11]

Ecuaciones de convección-difusión

Se han desarrollado métodos de expansiones asintóticas emparejadas para encontrar soluciones aproximadas a la ecuación de difusión-convección de Smoluchowski , que es una ecuación diferencial de segundo orden singularmente perturbada. El problema se ha estudiado particularmente en el contexto de partículas coloidales en campos de flujo lineal, donde la variable viene dada por la función de distribución de pares alrededor de una partícula de prueba. En el límite del número de Péclet bajo , la ecuación de convección-difusión también presenta una singularidad a una distancia infinita (donde normalmente la condición de límite de campo lejanodebe colocarse) debido a que el campo de flujo es lineal en la separación entre partículas. Este problema puede evitarse con una transformada espacial de Fourier, como lo muestra Jan Dhont. ^[12] Un enfoque diferente para resolver este problema fue desarrollado por Alessio Zaccone y colaboradores y consiste en colocar la condición de límite justo en la distancia de la capa límite, asumiendo (en una aproximación de primer orden) un valor constante de la función de distribución de pares en la capa exterior debido a que la convección es dominante allí. Esto conduce a una teoría aproximada de la tasa de encuentro de dos partículas coloides que interactúan en un campo de flujo lineal en buen acuerdo con la solución numérica completa. ^[13] Cuando el Pécletnúmero es significativamente mayor que uno, la singularidad en la separación infinita ya no ocurre y el método de asintóticos emparejados se puede aplicar para construir la solución completa para la función de distribución de pares en todo el dominio. ^{[14] [15]}

Ver también

• Análisis asintótico
• Análisis de múltiples escalas
• Asintóticas de energía de activación

Referencias

1. RB Dingle (1973), Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación , Academic Press .
2. Verhulst, F. (2005). Métodos y aplicaciones de perturbaciones singulares: capas límite y dinámica de múltiples escalas de tiempo . Saltador. ISBN 0-387-22966-3.
3. Nayfeh, AH (2000). Métodos de perturbación . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-39917-9.
4. Kevorkian, J .; Cole, JD (1996). Métodos de Perturbación Singular y Escala Múltiple . Saltador. ISBN 0-387-94202-5.
5. Bender, CM; Orszag, SA (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Saltador. ISBN 978-0-387-98931-0.
6. Hinch, John (1991). Métodos de perturbación . Prensa de la Universidad de Cambridge .
7. RB Dingle y HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 211 (1962) 11-32 y 216 (1964) 123-133; HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 211 (1962) 179-190.
8. HJW Müller, Mathematische Nachrichten 31 (1966) 89-101, 32 (1966) 49-62, 32 (1966) 157-172.
9. HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 211 (1962) 33-47.
10. HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 212 (1963) 26-48.
11. HJW Müller-Kirsten (2012), Introducción a la mecánica cuántica: Ecuación de Schrödinger y ruta integral , 2a ed., World Scientific , ISBN 978-9814397742 . Capítulo 18 sobre potenciales anarmónicos. 
12. Una introducción a la dinámica de los coloides por JKG Dhont, enlace de libros de Google
13. Zaccone, A .; Gentili, D .; Wu, H .; Morbidelli, M. (2009). "Teoría de los procesos de velocidad activada bajo cizallamiento con aplicación a la agregación de coloides inducida por cizallamiento". Revisión E física . 80 : 051404. doi : 10.1103 / PhysRevE.80.051404 . hdl : 2434/653702 .
14. Banetta, L .; Zaccone, A. (2019). "Función de distribución radial de los fluidos de Lennard-Jones en flujos de corte de asintóticos intermedios". Revisión E física . 99 : 052606. arXiv : 1901.05175 . doi : 10.1103 / PhysRevE.99.052606 .
15. Banetta, L .; Zaccone, A. (2020). "Función de correlación de pares de sistemas coloidales estabilizados por carga en condiciones de cizallamiento" . Ciencia de coloides y polímeros . 298 (7): 761–771. doi : 10.1007 / s00396-020-04609-4 .