En matemáticas , un problema de perturbación singular es un problema que contiene un pequeño parámetro que no puede aproximarse estableciendo el valor del parámetro en cero. Más precisamente, la solución no puede aproximarse uniformemente mediante una expansión asintótica
como . Aquí es el pequeño parámetro del problema y son una secuencia de funciones de de orden creciente, como . Esto contrasta con los problemas de perturbación habituales , para los que se puede obtener una aproximación uniforme de esta forma. Los problemas singularmente perturbados se caracterizan generalmente por dinámicas que operan en múltiples escalas. A continuación se describen varias clases de perturbaciones singulares.
El término "perturbación singular" fue acuñado en la década de 1940 por Kurt Otto Friedrichs y Wolfgang R. Wasow . [1]
Métodos de análisis
Un problema perturbado cuya solución puede aproximarse en todo el dominio del problema, ya sea en el espacio o en el tiempo, mediante una sola expansión asintótica tiene una perturbación regular . Muy a menudo en las aplicaciones, una aproximación aceptable a un problema perturbado regularmente se encuentra simplemente reemplazando el pequeño parámetropor cero en todas partes del enunciado del problema. Esto corresponde a tomar solo el primer término de la expansión, produciendo una aproximación que converge, quizás lentamente, a la verdadera solución comodisminuye. La solución a un problema singularmente perturbado no se puede aproximar de esta manera: como se ve en los ejemplos siguientes, una perturbación singular generalmente ocurre cuando el pequeño parámetro de un problema multiplica su operador más alto. Por tanto, tomar ingenuamente el parámetro como cero cambia la naturaleza misma del problema. En el caso de ecuaciones diferenciales, no se pueden satisfacer las condiciones de contorno; en ecuaciones algebraicas, se reduce el número posible de soluciones.
La teoría de la perturbación singular es un área de exploración rica y en curso para matemáticos, físicos y otros investigadores. Los métodos utilizados para abordar los problemas en este campo son muchos. Los más básicos incluyen el método de expansiones asintóticas emparejadas y aproximación WKB para problemas espaciales y, en el tiempo, el método de Poincaré-Lindstedt , el método de escalas múltiples y promedios periódicos .
Para libros sobre perturbación singular en ODE y PDE, ver por ejemplo Holmes, Introducción a los métodos de perturbación , [2] Hinch, métodos de perturbación [3] o Bender y Orszag , Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . [4]
Ejemplos de problemas perturbativos singulares
Cada uno de los ejemplos que se describen a continuación muestra cómo un análisis de perturbación ingenuo, que asume que el problema es regular en lugar de singular, fallará. Algunos muestran cómo el problema puede resolverse mediante métodos singulares más sofisticados.
Coeficientes de fuga en ecuaciones diferenciales ordinarias
Las ecuaciones diferenciales que contienen un pequeño parámetro que premultiplica el término de orden más alto generalmente exhiben capas límite, de modo que la solución evoluciona en dos escalas diferentes. Por ejemplo, considere el problema del valor límite
Su solución cuando es la curva sólida que se muestra a continuación. Tenga en cuenta que la solución cambia rápidamente cerca del origen. Si ingenuamente establecemos, obtendríamos la solución etiquetada como "exterior" debajo que no modela la capa límite, para la cual x es cercana a cero. Para obtener más detalles que muestran cómo obtener la aproximación uniformemente válida, consulte el método de expansiones asintóticas emparejadas .
![Matching (perturbation).jpg](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/3/35/Matching_%28perturbation%29.jpg)
Ejemplos en el tiempo
Un manipulador de robot accionado eléctricamente puede tener una dinámica mecánica más lenta y una dinámica eléctrica más rápida, exhibiendo así dos escalas de tiempo. En tales casos, podemos dividir el sistema en dos subsistemas, uno correspondiente a dinámicas más rápidas y otro correspondiente a dinámicas más lentas, y luego diseñar controladores para cada uno de ellos por separado. Mediante una técnica de perturbación singular, podemos hacer que estos dos subsistemas sean independientes entre sí, simplificando así el problema de control.
Considere una clase de sistema descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones:
con . La segunda ecuación indica que la dinámica de es mucho más rápido que el de . Un teorema de Tikhonov [5] establece que, con las condiciones correctas en el sistema, se aproximará inicial y muy rápidamente la solución a las ecuaciones.
en algún intervalo de tiempo y que, como disminuye hacia cero, el sistema se acercará más a la solución en ese mismo intervalo. [6]
Ejemplos en el espacio
En mecánica de fluidos , las propiedades de un fluido ligeramente viscoso son dramáticamente diferentes fuera y dentro de una capa límite estrecha . Por tanto, el fluido presenta múltiples escalas espaciales.
Los sistemas de reacción-difusión en los que un reactivo se difunde mucho más lentamente que otro pueden formar patrones espaciales marcados por áreas donde existe un reactivo y áreas donde no existe, con transiciones bruscas entre ellas. En ecología , los modelos depredador-presa como
dónde es la presa y es el depredador, se ha demostrado que exhibe tales patrones. [7]
Ecuaciones algebraicas
Considere el problema de encontrar todas las raíces del polinomio. En el limite, este cúbico degenera en el cuadrático con raíces en . Sustitución de una serie de perturbaciones regulares
en la ecuación e igualando potencias iguales de solo produce correcciones a estas dos raíces:
Para encontrar la otra raíz, se debe utilizar el análisis de perturbaciones singulares. Entonces debemos lidiar con el hecho de que la ecuación degenera en una cuadrática cuando dejamostienden a cero, en ese límite una de las raíces escapa al infinito. Para evitar que esta raíz se vuelva invisible para el análisis perturbativo, debemos reescalarpara realizar un seguimiento de esta raíz de escape para que, en términos de las variables reescaladas, no se escape. Definimos una variable reescalada donde el exponente Se elegirá de tal manera que reescalemos lo suficientemente rápido para que la raíz tenga un valor finito de en el limite de a cero, pero de manera que no colapse a cero donde terminarán las otras dos raíces. En términos de tenemos
Podemos ver eso por la está dominado por los términos de grado inferior, mientras que en se vuelve tan dominante como el término mientras que ambos dominan el término restante. Este punto donde el término de orden más alto ya no desaparecerá en el límite.a cero al volverse igualmente dominante a otro término, se le llama degeneración significativa; esto produce el cambio de escala correcto para hacer visible la raíz restante. Esta elección produce
Sustituyendo la serie de perturbaciones
rendimientos
Entonces estamos interesados en la raíz en ; la raíz doble enson las dos raíces que hemos encontrado arriba que colapsan a cero en el límite de un cambio de escala infinito. Calculando los primeros términos de la serie, se obtiene
Referencias
- ^ Wasow, Wolfgang R. (1981), "EN PROBLEMAS DE CAPA LÍMITE EN LA TEORÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS" , Centro de investigación de matemáticas, Universidad de Wisconsin-Madison, Informe de resumen técnico , 2244 : PDF página 5
- ^ Holmes, Mark H. Introducción a los métodos de perturbación . Springer, 1995. ISBN 978-0-387-94203-2
- ^ Hinch, EJ Perturbación métodos . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1991. ISBN 978-0-521-37897-0
- ^ Bender, Carl M. y Orszag, Steven A. Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98931-0
- ^ Tikhonov, AN (1952), "Sistemas de ecuaciones diferenciales que contienen un pequeño parámetro que multiplica la derivada" (en ruso), Mat. Sb. 31 (73), págs. 575–586
- ^ Verhulst, Ferdinand. Métodos y aplicaciones de perturbaciones singulares: capas límite y dinámica de múltiples escalas de tiempo , Springer, 2005. ISBN 0-387-22966-3 .
- ^ Owen, MR y Lewis, MA "Cómo la depredación puede ralentizar, detener o revertir una invasión de presas", Boletín de Biología Matemática (2001) 63, 655-684.