En el análisis no estándar , una disciplina dentro de las matemáticas clásicas , la microcontinuidad (o S -continuidad) de una función interna f en un punto a se define de la siguiente manera:
- para todo x infinitamente cercano a a , el valor f ( x ) es infinitamente cercano a f ( a ).
Aquí x pasa por el dominio de f . En fórmulas, esto se puede expresar de la siguiente manera:
- Si luego .
Para una función f definida en, la definición se puede expresar en términos del halo de la siguiente manera: f es microcontinua en si y solo si , donde la extensión natural de f a los hiperreal todavía se denota f . Alternativamente, la propiedad de microcontinuidad en c puede expresarse indicando que la composiciónes constante en el halo de c , donde "st" es la función de parte estándar .
Historia
La propiedad moderna de continuidad de una función fue definida por primera vez por Bolzano en 1817. Sin embargo, el trabajo de Bolzano no fue notado por la comunidad matemática en general hasta su redescubrimiento en Heine en la década de 1860. Mientras tanto, el libro de texto de Cauchy Cours d'Analyse definió la continuidad en 1821 utilizando infinitesimales como se indicó anteriormente. [1]
Continuidad y continuidad uniforme
La propiedad de microcontinuidad se aplica típicamente a la extensión natural f * de una función real f . Por lo tanto, f definida en un intervalo real I es continua si y sólo si f * es microcontinuous en cada punto de I . Mientras tanto, f es uniformemente continua en I si y sólo si f * es microcontinua en cada punto (estándar y no estándar) de la extensión natural I * de su dominio I (ver Davis, 1977, p. 96).
Ejemplo 1
La función real en el intervalo abierto (0,1) no es uniformemente continua porque la extensión natural f * de f no es microcontinua en un infinitesimal . De hecho, para tal a , los valores a y 2a son infinitamente cercanos, pero los valores de f * , a saber y no están infinitamente cerca.
Ejemplo 2
La función en no es uniformemente continuo porque f * no es microcontinuo en un punto infinito. A saber, la configuracióny K = H + e , uno ve fácilmente que H y K están infinitamente cerca pero f * ( H ) yf * ( K ) no están infinitamente cerca.
Convergencia uniforme
La convergencia uniforme admite igualmente una definición simplificada en un entorno hiperreal. Por lo tanto, una secuenciaconverge af uniformemente si para todo x en el dominio de f * y todo n infinito , está infinitamente cerca de .
Ver también
Bibliografía
- Martin Davis (1977) Análisis no estándar aplicado. Matemática pura y aplicada. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sydney. xii + 181 págs. ISBN 0-471-19897-8
- Gordon, EI; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: análisis infinitesimal. Traducción actualizada y revisada del original ruso de 2001. Traducido por Kutateladze. Matemáticas y sus aplicaciones, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.
Referencias
- ^ Borovik, Alexandre ; Katz, Mikhail G. (2011), "¿Quién le dio el cuento de Cauchy-Weierstrass? La historia dual del cálculo riguroso", Fundamentos de la ciencia , arXiv : 1108.2885 , doi : 10.1007 / s10699-011-9235-x.