Círculo de antisimilitud
En geometría inversa , el círculo de antisimilitud (también conocido como círculo medio ) de dos círculos , α y β , es un círculo de referencia para el cual α y β son inversas entre sí. Si α y β no se cortan o son tangentes, existe un solo círculo de antisimilitud; si α y β se cortan en dos puntos, hay dos círculos de antisimilitud. Cuando α y β son congruentes , el círculo de antisimilitud degeneraa un eje de simetría a través del cual α y β son reflejos uno del otro. [1] [2]
Si los dos círculos α y β se cruzan, otros dos círculos γ y δ son cada uno tangentes a α y β , y además γ y δ son tangentes entre sí, entonces el punto de tangencia entre γ y δ necesariamente se encuentra en uno de los dos círculos de antisimilitud. Si α y β son disjuntos y no concéntricos, entonces el lugar geométrico de los puntos de tangencia de γ y δ nuevamente forma dos círculos, pero solo uno de ellos es el (único) círculo de antisimilitud. Si α yβ son tangentes o concéntricos, entonces el lugar geométrico de los puntos de tangencia degenera en un solo círculo, que nuevamente es el círculo de antisimilitud. [3]
Si los dos círculos α y β se cruzan, entonces sus dos círculos de antisimilitud pasan cada uno por ambos puntos de cruce y bisecan los ángulos formados por los arcos de α y β cuando se cruzan.
Si un círculo γ cruza los círculos α y β en ángulos iguales, entonces γ es atravesado ortogonalmente por uno de los círculos de antisimilitud de α y β ; si γ cruza α y β en ángulos suplementarios , es cruzado ortogonalmente por el otro círculo de antisimilitud, y si γ es ortogonal tanto a α como a β , entonces también es ortogonal a ambos círculos de antisimilitud. [2]
Supongamos que, para tres círculos α , β y γ , existe un círculo de antisimilitud para el par ( α , β ) que cruza un segundo círculo de antisimilitud para el par ( β , γ ). Luego hay un tercer círculo de antisimilitud para el tercer par ( α , γ) tal que los tres círculos de antisimilitud se cruzan en dos puntos de triple intersección. En total, de esta manera se pueden generar como máximo ocho puntos de triple cruce, ya que hay dos formas de elegir cada uno de los dos primeros círculos y dos puntos donde se cruzan los dos círculos elegidos. Estos ocho o menos puntos de cruce triples son los centros de inversiones que toman los tres círculos α , β y γ para convertirse en círculos iguales. [1] Para tres círculos que son mutuamente tangentes externamente, los círculos (únicos) de antisimilitud para cada par se cruzan nuevamente en ángulos de 120° en dos puntos de intersección triple que son los puntos isodinámicos del triángulo formado por los tres puntos de tangencia .
