En geometría euclidiana , los puntos isodinámicos de un triángulo son puntos asociados con el triángulo, con las propiedades de que una inversión centrada en uno de estos puntos transforma el triángulo dado en un triángulo equilátero , y que las distancias desde el punto isodinámico a los vértices del triángulo son inversamente proporcionales a las longitudes de los lados opuestos del triángulo. Los triángulos que son similares entre sí tienen puntos isodinámicos en ubicaciones correspondientes en el plano, por lo que los puntos isodinámicos son centros de triángulos y, a diferencia de otros centros de triángulos, los puntos isodinámicos también son invariantes bajo las transformaciones de Möbius.. Un triángulo que es equilátero tiene un punto isodinámico único, en su centroide ; todo triángulo no equilátero tiene dos puntos isodinámicos. Los puntos isodinámicos fueron estudiados y nombrados por primera vez por Joseph Neuberg ( 1885 ). [1]
Relaciones de distancia
Los puntos isodinámicos se definieron originalmente a partir de ciertas igualdades de relaciones (o equivalentemente de productos) de distancias entre pares de puntos. Si y son los puntos isodinámicos de un triángulo , luego los tres productos de distancias son iguales. Las igualdades análogas también son válidas para. [2] De manera equivalente a la fórmula del producto, las distancias, , y son inversamente proporcionales a las longitudes correspondientes de los lados del triángulo , , y .
y son los puntos de intersección comunes de los tres círculos de Apolonio asociados con el triángulo de un triángulo, los tres círculos que pasan cada uno por un vértice del triángulo y mantienen una razón constante de distancias a los otros dos vértices. [3] Por lo tanto, la líneaes el eje radical común para cada uno de los tres pares de círculos de Apolonio. La bisectriz perpendicular del segmento de rectaes la línea de Lemoine , que contiene los tres centros de los círculos de Apolonio. [4]
Transformaciones
Los puntos isodinámicos y de un triangulo también puede definirse por sus propiedades con respecto a las transformaciones del plano, y particularmente con respecto a las inversiones y transformaciones de Möbius (productos de múltiples inversiones). Inversión del triángulocon respecto a un punto isodinámico transforma el triángulo original en un triángulo equilátero . [5] Inversión con respecto a la circunferencia del triángulodeja el triángulo invariante pero transforma un punto isodinámico en el otro. [3] De manera más general, los puntos isodinámicos son equivariantes bajo las transformaciones de Möbius : el par desordenado de puntos isodinámicos de una transformación de es igual a la misma transformación aplicada al par . Los puntos isodinámicos individuales están fijados por transformaciones de Möbius que mapean el interior del círculo circunscrito deal interior de la circunferencia del triángulo transformado, e intercambiado por transformaciones que intercambian el interior y el exterior de la circunferencia. [6]
Anglos
Además de ser las intersecciones de los círculos de Apolonio, cada punto isodinámico son los puntos de intersección de otro triple de círculos. El primer punto isodinámico es la intersección de tres círculos a través de los pares de puntos, , y , donde cada uno de estos círculos se cruza con la circunferencia del triángulopara formar una lente con un ángulo de vértice de 2π / 3. De manera similar, el segundo punto isodinámico es la intersección de tres círculos que cruzan el círculo circunferencial para formar lentes con un ángulo de vértice π / 3. [6]
Los ángulos formados por el primer punto isodinámico con los vértices del triángulo satisfacen las ecuaciones , , y . De manera análoga, los ángulos formados por el segundo punto isodinámico satisfacen las ecuaciones, , y . [6]
El triángulo del pedal de un punto isodinámico, el triángulo formado al soltar perpendiculares desde a cada uno de los tres lados del triángulo , es equilátero, [5] al igual que el triángulo formado al reflejara cada lado del triángulo. [7] Entre todos los triángulos equiláteros inscritos en triángulo, el triángulo del pedal del primer punto isodinámico es el de área mínima. [8]
Propiedades adicionales
Los puntos isodinámicos son los conjugados isogonales de los dos puntos de Fermat del triángulo., y viceversa. [9]
El cubo de Neuberg contiene ambos puntos isodinámicos. [4]
Si un círculo está dividido en tres arcos, el primer punto isodinámico de los extremos del arco es el único punto dentro del círculo con la propiedad de que cada uno de los tres arcos es igualmente probable que sea el primer arco alcanzado por un movimiento browniano que comienza en ese punto. . Es decir, el punto isodinámico es el punto para el que la medida armónica de los tres arcos es igual. [10]
Construcción
El círculo de Apolonio a través del vértice de triangulo se puede construir encontrando las dos bisectrices de ángulo (interior y exterior) de los dos ángulos formados por líneas y en el vértice , y la intersección de estas líneas bisectrices con la línea . El segmento de línea entre estos dos puntos de intersección es el diámetro del círculo de Apolonio. Los puntos isodinámicos se pueden encontrar construyendo dos de estos círculos y encontrando sus dos puntos de intersección. [3]
Otra construcción de brújula y regla implica encontrar el reflejo de vértice a través de la línea (la intersección de círculos centrados en y mediante ), y construyendo un triángulo equilátero hacia adentro en el lado del triángulo (el ápice de este triángulo es la intersección de dos círculos que tienen como su radio). La línea cruza las líneas construidas de manera similar y en el primer punto isodinámico. El segundo punto isodinámico se puede construir de manera similar pero con los triángulos equiláteros erigidos hacia afuera en lugar de hacia adentro. [11]
Alternativamente, la posición del primer punto isodinámico puede calcularse a partir de sus coordenadas trilineales , que son [12]
El segundo punto isodinámico utiliza coordenadas trilineales con una fórmula similar que implica en lugar de .
Notas
- ↑ Para el crédito a Neuberg, véase, por ejemplo, Casey (1893) y Eves (1995) .
- ↑ Neuberg (1885) afirma que esta propiedad es la razón para llamar a estos puntos "isodinámicos".
- ↑ a b c Bottema (2008) ; Johnson (1917) .
- ↑ a b Wildberger (2008) .
- ↑ a b Casey (1893) ; Johnson (1917) .
- ↑ a b c Rigby (1988) .
- ^ Carver (1956) .
- ^ Luna (2010) .
- ^ Eves (1995) ; Wildberger (2008) .
- ^ Iannaccone y Walden (2003) .
- ^ Evans (2002) .
- ^ Kimberling (1993) .
Referencias
- Bottema, Oene (2008), Temas de geometría elemental (2ª ed.), Springer, p. 108, ISBN 9780387781303.
- Carver, Walter B. (1956), "Some geometry of the triangle", American Mathematical Monthly , 63 (9): 32–50, doi : 10.2307 / 2309843 , JSTOR 2309843.
- Casey, John (1893), Un tratado sobre la geometría analítica del punto, la línea, el círculo y las secciones cónicas: que contiene una descripción de sus extensiones más recientes, con numerosos ejemplos , serie de Dublin University Press, Hodges, Figgis, & Co. , pag. 303.
- Evans, Lawrence S. (2002), "Una construcción rápida de algunos centros de triángulos" (PDF) , Forum Geometricorum , 2 : 67–70, MR 1907780.
- Eves, Howard Whitley (1995), College geometry , Jones & Bartlett Learning, págs. 69–70, ISBN 9780867204759.
- Iannaccone, Andrew; Walden, Byron (2003), The Conformal Center of a Triangle or a Quadrilateral , Departamento de Matemáticas de Harvey Mudd College.
- Johnson, Roger A. (1917), "Ángulos dirigidos e inversión, con una prueba del teorema de Schoute", American Mathematical Monthly , 24 (7): 313–317, doi : 10.2307 / 2973552 , JSTOR 2973552.
- Kimberling, Clark (1993), "Ecuaciones funcionales asociadas con la geometría del triángulo" (PDF) , Aequationes Mathematicae , 45 (2-3): 127-152, doi : 10.1007 / BF01855873 , MR 1212380 , S2CID 189834484.
- Luna, Tarik Adnan (2010), "Los círculos apolíneo y puntos isodinámicos" (PDF) , Matemáticas Reflexiones (6), archivados desde el original (PDF) en 04/20/2013 , recuperada 2012-03-22.
- Neuberg, J. (1885), "Sur le quadrilatère harmonique" , Mathesis (en francés), 5 : 202–204, 217–221, 265–269. La definición de puntos isodinámicos se encuentra en una nota a pie de página en la página 204.
- Rigby, JF (1988), "Napoleon revisited", Journal of Geometry , 33 (1-2): 129-146, doi : 10.1007 / BF01230612 , MR 0963992 , S2CID 189876799. La discusión de los puntos isodinámicos se encuentra en las páginas 138-139. Rigby los llama " puntos de Napoleón ", pero ese nombre se refiere más comúnmente a un centro de triángulo diferente, el punto de coincidencia entre las líneas que conectan los vértices del triángulo equilátero de Napoleón con los vértices opuestos del triángulo dado.
- Wildberger, NJ (2008), "Cúbicos de Neuberg sobre campos finitos", Geometría algebraica y sus aplicaciones , Ser. Aplicación de teoría de números, 5 , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, págs. 488–504, arXiv : 0806.2495 , doi : 10.1142 / 9789812793430_0027 , MR 2484072 , S2CID 115159205. Ver especialmente la p. 498 .
enlaces externos
Puntos isodinámicos X (15) y X (16) en la Enciclopedia de centros triangulares , por Clark Kimberling
- Weisstein, Eric W. "Puntos isodinámicos" . MathWorld .