En física teórica , un modelo mínimo o modelo mínimo de Virasoro es una teoría de campo conforme bidimensional cuyo espectro se construye a partir de un número finito de representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro . Los modelos mínimos se han clasificado y resuelto, y se ha encontrado que obedecen a una clasificación ADE . [1] El término modelo mínimo también puede referirse a un CFT racional basado en un álgebra que es más grande que el álgebra de Virasoro, como un W-álgebra .
Representaciones relevantes del álgebra de Virasoro
Representaciones
En modelos mínimos, la carga central del álgebra de Virasoro toma valores del tipo
dónde son enteros coprimos tales que . Entonces las dimensiones conformes de las representaciones degeneradas son
y obedecen las identidades
Los espectros de los modelos mínimos están hechos de representaciones irreductibles, degeneradas de menor peso del álgebra de Virasoro, cuyas dimensiones conformes son del tipo con
Tal representación es una clase lateral de un módulo Verma por sus infinitos submódulos no triviales. Es unitario si y solo si. A una carga central determinada, haydistintas representaciones de este tipo. El conjunto de estas representaciones, o de sus dimensiones conformes, se denomina tabla Kac con parámetros. La tabla Kac generalmente se dibuja como un rectángulo de tamaño, donde cada representación aparece dos veces debido a la relación
Reglas de fusión
Las reglas de fusión de las representaciones degeneradas múltiples codificar restricciones de todos sus vectores nulos. Por lo tanto, pueden deducirse de las reglas de fusión de representaciones simplemente degeneradas, que codifican restricciones de vectores nulos individuales. [2] Explícitamente, las reglas de fusión son
donde las sumas se ejecutan en incrementos de dos.
Clasificación
Modelos minimalistas de la serie A: la caja diagonal
Para cualquier número entero coprime tal que , existe un modelo mínimo diagonal cuyo espectro contiene una copia de cada representación distinta en la tabla Kac:
La y los modelos son los mismos.
El OPE de dos campos involucra todos los campos que están permitidos por las reglas de fusión de las representaciones correspondientes.
Modelos mínimos de la serie D
Un modelo mínimo de la serie D con carga central existe si o es par y al menos . Usando la simetría asumimos que es par, entonces es impar. El espectro es
donde se acaban las sumas ejecutar en incrementos de dos. En cualquier espectro dado, cada representación tiene multiplicidad uno, excepto las representaciones del tipo Si , que tienen multiplicidad dos. De hecho, estas representaciones aparecen en ambos términos en nuestra fórmula para el espectro.
El OPE de dos campos involucra todos los campos que están permitidos por las reglas de fusión de las representaciones correspondientes, y que respetan la conservación de la diagonalidad : el OPE de un campo diagonal y uno no diagonal produce solo campos no diagonales y el OPE de dos campos del mismo tipo produce sólo campos diagonales. [3] Para esta regla, una copia de la representación cuenta como diagonal y la otra copia como no diagonal.
Modelos mínimos de la serie E
Hay tres series de modelos mínimos de la serie E. Cada serie existe por un valor dado de para cualquier eso es coprime con . (Esto en realidad implica.) Usando la notación , los espectros dicen:
Ejemplos de
Los siguientes modelos mínimos de la serie A están relacionados con sistemas físicos bien conocidos: [2]
Asumiendo , el nivel es entero si y solo si es decir, si y solo si el modelo mínimo es unitario.
Existen otras realizaciones de ciertos modelos mínimos, diagonales o no, como clases laterales de los modelos WZW, no necesariamente basados en el grupo . [2]
Modelos mínimos generalizados
Para cualquier carga central , hay un CFT diagonal cuyo espectro está compuesto por todas las representaciones degeneradas,
Cuando la carga central tiende a , los modelos mínimos generalizados tienden al modelo mínimo de la serie A correspondiente. [4] Esto significa en particular que las representaciones degeneradas que no están en la tabla Kac se desacoplan.
Teoría de Liouville
Dado que la teoría de Liouville se reduce a un modelo mínimo generalizado cuando los campos se consideran degenerados, [4] se reduce aún más a un modelo mínimo de la serie A cuando la carga central se envía a.
Además, los modelos mínimos de la serie A tienen un límite bien definido como : un CFT diagonal con un espectro continuo llamado teoría de Runkel-Watts, [5] que coincide con el límite de la teoría de Liouville cuando. [6]
Productos de modelos mínimos
Hay tres casos de modelos mínimos que son productos de dos modelos mínimos. [7] A nivel de sus espectros, las relaciones son:
Extensiones fermiónicas de modelos mínimos
Si , la serie A y la serie D los modelos mínimos tienen cada uno una extensión fermiónica. Estas dos extensiones fermiónicas involucran campos con espines de medio entero y están relacionados entre sí mediante una operación de cambio de paridad. [8]
Referencias
↑ A. Cappelli, JB. Zuber, "Clasificación ADE de las teorías de campos conformales", Scholarpedia
^ a b c d P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría del campo conformal , 1997, ISBN 0-387-94785-X
^ I. Runkel, "Constantes de estructura para los modelos mínimos de Virasoro de la serie D", hep-th / 9908046
^ a b S. Ribault, "Teoría de campos conformados en el plano", arXiv: 1406.4290
^ I. Runkel, G. Watts, "Un CFT no racional con c = 1 como límite de modelos mínimos", arXiv: hep-th / 0107118