Los módulos Verma , que llevan el nombre de Daya-Nand Verma , son objetos de la teoría de la representación de las álgebras de Lie , una rama de las matemáticas .
Los módulos de Verma se pueden utilizar en la clasificación de representaciones irreductibles de un álgebra de Lie semisimple compleja. Específicamente, aunque los módulos Verma en sí mismos son de dimensión infinita, sus cocientes se pueden usar para construir representaciones de dimensión finita con mayor peso., dónde es dominante e integral. [1] Sus homomorfismos corresponden a operadores diferenciales invariantes sobre variedades bandera .
Construcción informal
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/67/Verma_module_example2.png/220px-Verma_module_example2.png)
Podemos explicar la idea de un módulo Verma de la siguiente manera. [2] Dejaser un álgebra de mentira semisimple (sobre, por simplicidad). Dejarser una subálgebra de Cartan fija de y deja ser el sistema raíz asociado. Dejarser un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada, elija un elemento distinto de cero para el espacio raíz correspondiente y un elemento distinto de cero en el espacio de la raíz . Pensamos en eles como "operadores de crianza" y el es como "operadores de bajada".
Ahora deja ser un funcional lineal arbitrario, no necesariamente dominante o integral. Nuestro objetivo es construir una representación de con mayor peso que es generado por un solo vector distinto de cero con peso . El módulo Verma es uno de estos módulos de mayor peso, uno que es máximo en el sentido de que cualquier otro módulo de mayor peso con mayor pesoes un cociente del módulo Verma. Resultará que los módulos de Verma son siempre de dimensión infinita; Sies integral dominante, sin embargo, se puede construir un módulo de cociente de dimensión finita del módulo Verma. Por tanto, los módulos de Verma juegan un papel importante en la clasificación de representaciones de dimensión finita de. Específicamente, son una herramienta importante en la parte difícil del teorema del mayor peso, es decir, mostrar que cada elemento integral dominante en realidad surge como el peso más alto de una representación irreducible de dimensión finita de.
Ahora intentamos comprender intuitivamente qué es el módulo Verma con mayor peso debería verse como. Desde es ser un vector de peso más alto con peso , ciertamente queremos
y
- .
Luego Deben ser elementos extendidos obtenidos bajando por la acción del 's:
- .
Imponemos ahora sólo aquellas relaciones entre vectores de la forma anterior requeridas por las relaciones de conmutación entre los's. En particular, el módulo Verma es siempre de dimensión infinita. Los pesos del módulo Verma con mayor peso constará de todos los elementos que se puede obtener de restando combinaciones de números enteros de raíces positivas. La figura muestra los pesos de un módulo Verma para.
Un simple argumento de reordenamiento muestra que solo hay una forma posible de que el álgebra de Lie completa puede actuar en este espacio. Específicamente, si es cualquier elemento de , luego por la parte fácil del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, podemos reescribir
como una combinación lineal de productos de elementos de álgebra de Lie con los operadores de elevación actuando primero, los elementos de la subálgebra de Cartan, y por último los operadores de descenso . Aplicando esta suma de términos a, cualquier término con un operador de elevación es cero, los factores de Cartan actúan como escalares y, por lo tanto, terminamos con un elemento de la forma original.
Para comprender un poco mejor la estructura del módulo Verma, podemos elegir un orden de las raíces positivas como y dejamos que los operadores de bajada correspondientes . Luego, mediante un simple argumento de reordenamiento, cada elemento del formulario anterior se puede reescribir como una combinación lineal de elementos con elestá en un orden específico:
- ,
donde el son números enteros no negativos. En realidad, resulta que dichos vectores forman la base del módulo Verma.
Aunque esta descripción del módulo Verma da una idea intuitiva de lo que Parece que aún queda por dar una construcción rigurosa del mismo. En cualquier caso, el módulo Verma ofrece, para cualquier , no necesariamente dominante o integral: una representación con mayor peso . El precio que pagamos por esta construcción relativamente simple es quees siempre de dimensión infinita. En el caso dondees dominante e integral, se puede construir un cociente irreducible de dimensión finita del módulo Verma. [3]
El caso de sl (2; C )
Dejar ser la base habitual para :
siendo la subálgebra de Cartan el lapso de . Dejar ser definido por para un número complejo arbitrario . Luego, el módulo Verma con mayor peso está dividido por vectores linealmente independientes y la acción de los elementos básicos es la siguiente: [4]
- .
(Esto significa en particular que y eso .) Estas fórmulas están motivadas por la forma en que los elementos base actúan en las representaciones de dimensión finita de , excepto que ya no requerimos que la "cadena" de vectores propios para tiene que terminar.
En esta construcción, es un número complejo arbitrario, no necesariamente real o positivo o un número entero. Sin embargo, el caso en el quees un entero no negativo es especial. En ese caso, el intervalo de los vectores se ve fácilmente como invariante, porque . El módulo del cociente es entonces la representación irreducible de dimensión finita de de dimensión
Definición de módulos Verma
Hay dos construcciones estándar del módulo Verma, las cuales involucran el concepto de álgebra envolvente universal . Continuamos con la notación del apartado anterior: es un álgebra de Lie semisimple compleja, es una subálgebra de Cartan fija, es el sistema raíz asociado con un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada, elegimos elementos distintos de cero y .
Como cociente del álgebra envolvente
La primera construcción [5] del módulo Verma es un cociente del álgebra envolvente universal de . Dado que se supone que el módulo Verma es un-módulo, también será un -módulo, por la propiedad universal del álgebra envolvente. Por tanto, si tenemos un módulo Verma con el vector de mayor peso , habrá un mapa lineal de dentro dada por
- .
Desde se supone que es generado por , el mapa debe ser sobreyectiva. Desde se supone que es un vector de mayor peso, el núcleo de debe incluir todos los vectores raíz por en . Dado que, también, se supone que es un vector de peso con peso , el núcleo de debe incluir todos los vectores de la forma
- .
Finalmente, el núcleo de debe ser un ideal de izquierda en ; después de todo, si luego para todos .
La discusión anterior motiva la siguiente construcción del módulo Verma. Definimos como el espacio vectorial cociente
- ,
dónde es el ideal izquierdo generado por todos los elementos de la forma
y
- .
Porque es un ideal de izquierda, la acción natural de izquierda de sobre sí mismo se traslada al cociente. Por lo tanto, es un -módulo y por lo tanto también un -módulo.
Por extensión de escalares
El procedimiento de " extensión de escalares " es un método para cambiar un módulo izquierdo sobre un álgebra (no necesariamente conmutativo) en un módulo izquierdo sobre un álgebra más grande eso contiene como subálgebra. Podemos pensar en como un derecho -módulo, donde actúa sobre por multiplicación a la derecha. Desde es una izquierda -módulo y es un derecho -módulo, podemos formar el producto tensorial de los dos sobre el álgebra:
- .
Ahora, desde es una izquierda -módulo sobre sí mismo, el producto tensorial anterior lleva una estructura de módulo izquierdo sobre el álgebra más grande , determinado únicamente por el requisito de que
para todos y en . Así, partiendo de la izquierda-módulo , hemos producido una izquierda -módulo .
Ahora aplicamos esta construcción en el marco de un álgebra de Lie semisimple. Dejamos ser la subálgebra de abarcado por y los vectores raíz con . (Por lo tanto, es una "subálgebra de Borel" de .) Podemos formar un módulo a la izquierda sobre el álgebra envolvente universal como sigue:
- es el espacio vectorial unidimensional abarcado por un solo vector junto con un - estructura del módulo tal que actúa como multiplicación por y los espacios raíz positivos actúan trivialmente:
- .
La motivación de esta fórmula es que describe cómo se supone que actúa sobre el vector de peso más alto en un módulo Verma.
Ahora, del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt se sigue que es una subálgebra de . Por lo tanto, podemos aplicar la técnica de extensión de escalares para convertir desde la izquierda -módulo a la izquierda -módulo de la siguiente manera:
- .
Desde es una izquierda -módulo, es, en particular, un módulo (representación) para .
La estructura del módulo Verma
Cualquiera que sea la construcción del módulo Verma que se utilice, hay que demostrar que no es trivial, es decir, que no es el módulo cero. De hecho, es posible utilizar el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt para demostrar que el espacio vectorial subyacente de es isomorfo a
dónde es la subálgebra de Lie generada por los espacios de raíz negativos de (eso es el 's). [6]
Propiedades básicas
Módulos Verma, considerados como - módulos , son módulos de mayor peso , es decir, son generados por un vector de mayor peso . Este vector de mayor peso es (el primero es la unidad en y el segundo es la unidad en el campo , considerado como el - módulo ) y tiene peso .
Multiplicidades
Los módulos Verma son módulos de peso , es decires una suma directa de todos sus espacios de peso . Cada espacio de peso en es de dimensión finita y la dimensión del -espacio de peso es la cantidad de formas de expresar como una suma de raíces positivas (esto está estrechamente relacionado con la llamada función de partición de Kostant ). Esta afirmación se deriva de la afirmación anterior de que el módulo Verma es isomorfo como un espacio vectorial para, junto con el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt para .
Propiedad universal
Los módulos Verma tienen una propiedad muy importante: si es cualquier representación generada por un vector de peso más alto , hay una sobreyectiva - homomorfismo Es decir, todas las representaciones con mayor peso que son generados por el vector de peso más alto (los llamados módulos de peso más alto ) son cocientes de
Módulo de cociente irreducible
contiene un submódulo máximo único , y su cociente es la representación irreducible única (hasta isomorfismo ) con el peso más alto[7] Si el peso más altoes dominante e integral, entonces se prueba que este cociente irreductible es en realidad de dimensión finita. [8]
Como ejemplo, considere el caso discutido anteriormente. Si el peso más alto es "integral dominante", lo que significa simplemente que es un número entero no negativo, entonces y la amplitud de los elementos es invariante. La representación del cociente es entonces irreducible con la dimensión.. La representación del cociente está dividida en vectores linealmente independientes.. La acción dees el mismo que en el módulo Verma, excepto que en el cociente, en comparación con en el módulo Verma.
El módulo Verma en sí mismo es irreducible si y sólo si ninguna de las coordenadas de en la base de pesos fundamentales es del conjunto.
Otras propiedades
El módulo Verma se llama regular , si su peso más alto λ está en la órbita afín de Weyl de un peso dominante. En otras palabras, existe un elemento w del grupo de Weyl W tal que
dónde es la acción afín del grupo Weyl .
El módulo Verma se llama singular , si no hay un peso dominante en la órbita afín de λ. En este caso, existe un peso así que eso está en la pared de la cámara Weyl fundamental (δ es la suma de todos los pesos fundamentales ).
Homomorfismos de los módulos Verma
Para dos pesos cualesquiera un homomorfismo no trivial
puede existir solo si y están vinculados con una acción afín del grupo Weyl del álgebra de mentira . Esto se sigue fácilmente del teorema de Harish-Chandra sobre caracteres centrales infinitesimales .
Cada homomorfismo de los módulos de Verma es inyectivo y la dimensión
para cualquier . Entonces, existe un valor distinto de cero si y solo si es isomorfo a un submódulo (único) de.
La clasificación completa de los homomorfismos del módulo Verma fue realizada por Bernstein-Gelfand-Gelfand [9] y Verma [10] y se puede resumir en la siguiente declaración:
Existe un homomorfismo distinto de cero si y solo si existe
una secuencia de pesos
tal que por algunas raíces positivas (y es el reflejo de la raíz correspondiente yes la suma de todos los pesos fundamentales ) y para cada es un número naturales el coroot asociado a la raíz).
Si los módulos Verma y son regulares , entonces existe un peso dominante único y elementos únicos w , w 'del grupo de Weyl W tales que
y
dónde es la acción afín del grupo Weyl. Si los pesos son más integrales , entonces existe un homomorfismo distinto de cero.
si y solo si
en la ordenación Bruhat del grupo Weyl.
Serie Jordan – Hölder
Dejar
ser una secuencia de -módulos para que el cociente B / A sea irreducible con el peso más alto μ. Entonces existe un homomorfismo distinto de cero.
Una consecuencia fácil de esto es que para los módulos de mayor peso tal que
existe un homomorfismo distinto de cero .
Resolución de Bernstein-Gelfand-Gelfand
Dejar ser una representación irreductible de dimensión finita del álgebra de Lie con mayor peso λ. Sabemos por la sección sobre homomorfismos de módulos de Verma que existe un homomorfismo
si y solo si
en la ordenación Bruhat del grupo Weyl . El siguiente teorema describe una resolución deen términos de módulos Verma (fue probado por Bernstein - Gelfand - Gelfand en 1975 [11] ):
Existe una secuencia exacta de -homomorfismos
donde n es la longitud del elemento más grande del grupo Weyl.
También existe una resolución similar para los módulos Verma generalizados . En breve se indica como la resolución BGG .
Ver también
- Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie
- Teorema del mayor peso
- Módulo Verma generalizado
- Módulo Weyl
Notas
- ^ Por ejemplo, Hall 2015 Capítulo 9
- ^ Salón 2015 Sección 9.2
- ^ Salón 2015 Secciones 9.6 y 9.7
- ^ Salón 2015 Secciones 9.2
- ^ Salón 2015 Sección 9.5
- ^ Teorema de Hall 2015 9.14
- ^ Salón 2015 Sección 9.6
- ^ Salón 2015 Sección 9.7
- ^ Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Estructura de representaciones generadas por vectores de mayor peso, Funcional. Anal. Apl. 5 (1971)
- ^ Verma N., Estructura de ciertas representaciones inducidas de álgebras de Lie semisimples complejas, Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 74 (1968)
- ^ Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Operadores diferenciales en el espacio afín base y un estudio de módulos g, grupos de mentiras y sus representaciones , IM Gelfand, Ed., Adam Hilger, Londres, 1975.
Referencias
- Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; ten Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y su aplicación en física . Estudios de física matemática. 7 . Holanda Septentrional. Capítulo 20. ISBN 978-0-444-82836-1- a través de ScienceDirect .
- Carter, R. (2005), Álgebras de Lie de tipo finito y afín , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
- Dixmier, J. (1977), Álgebras envolventes , Amsterdam, Nueva York, Oxford: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-11077-0.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, J. (1980), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
- Knapp, AW (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción (2ª ed.), Birkhäuser, p. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6.
- Rocha, Alvany (2001) [1994], "Resolución BGG" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Roggenkamp, K .; Stefanescu, M. (2002), Álgebra - Teoría de la representación , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.
Este artículo incorpora material del módulo Verma en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .