En lógica matemática , la teoría de modelos es el estudio de la relación entre teorías formales (una colección de oraciones en un lenguaje formal que expresa declaraciones sobre una estructura matemática ) y sus modelos (aquellas estructuras en las que se mantienen las declaraciones de la teoría). [1] Los aspectos investigados incluyen el número y tamaño de los modelos de una teoría, la relación de diferentes modelos entre sí y su interacción con el lenguaje formal mismo. En particular, los teóricos de modelos también investigan los conjuntos que se pueden definiren un modelo de una teoría, y la relación de tales conjuntos definibles entre sí. Como disciplina independiente, la teoría de modelos se remonta a Alfred Tarski , quien utilizó por primera vez el término "Teoría de modelos" en una publicación de 1954. [2] Desde la década de 1970, el tema ha sido moldeado decisivamente por la teoría de la estabilidad de Saharon Shelah .
En comparación con otras áreas de la lógica matemática, como la teoría de la prueba, la teoría de modelos a menudo se preocupa menos por el rigor formal y se acerca más en espíritu a las matemáticas clásicas. Esto ha provocado el comentario de que "si la teoría de la prueba se trata de lo sagrado, entonces la teoría del modelo se trata de lo profano" . [3] Las aplicaciones de la teoría de modelos a la geometría algebraica y diofántica reflejan esta proximidad a las matemáticas clásicas, ya que a menudo implican una integración de técnicas y resultados algebraicos y de teoría de modelos.
La organización académica más destacada en el campo de la teoría de modelos es la Association for Symbolic Logic .
El énfasis relativo puesto en la clase de modelos de una teoría en oposición a la clase de conjuntos definibles dentro de un modelo fluctuó en la historia del tema, y las dos direcciones se resumen en las caracterizaciones concisas de 1973 y 1997 respectivamente:
No obstante, la interacción de las clases de modelos y los conjuntos definibles en ellos ha sido crucial para el desarrollo de la teoría de modelos a lo largo de su historia. Por ejemplo, mientras que la estabilidad se introdujo originalmente para clasificar las teorías por su número de modelos en una cardinalidad dada, la teoría de la estabilidad demostró ser crucial para comprender la geometría de los conjuntos definibles.
Esta página se centra en la teoría del modelo finito de primer orden de estructuras infinitas. La teoría de modelos finitos , que se concentra en estructuras finitas, difiere significativamente del estudio de estructuras infinitas tanto en los problemas estudiados como en las técnicas utilizadas. La teoría de modelos en lógicas de orden superior o lógicas infinitas se ve obstaculizada por el hecho de que la completitud y la compacidad en general no son válidas para estas lógicas. Sin embargo, también se ha hecho mucho estudio en tales lógicas.