Teoría del transporte (matemáticas)
En matemáticas y economía, la teoría del transporte o teoría del transporte es un nombre que se le da al estudio del transporte óptimo y la asignación de recursos . El problema fue formalizado por el matemático francés Gaspard Monge en 1781. [1]
En la década de 1920, AN Tolstoi fue uno de los primeros en estudiar matemáticamente el problema del transporte . En 1930, en la colección Transportation Planning Volume I para el Comisariado Nacional de Transporte de la Unión Soviética, publicó un artículo "Métodos para encontrar el kilometraje mínimo en el transporte de carga en el espacio". [2] [3]
El matemático y economista soviético Leonid Kantorovich logró importantes avances en este campo durante la Segunda Guerra Mundial . [4] En consecuencia, el problema, tal como se afirma, a veces se conoce como el problema del transporte de Monge-Kantorovich . [5] La formulación de programación lineal del problema del transporte también se conoce como el problema del transporte de Hitchcock - Koopmans . [6]
Supongamos que tenemos una colección de m minas de extracción de mineral de hierro, y una colección de n fábricas que utilizan el mineral de hierro que las minas producen. Supongamos, por el bien del argumento de que estas minas y fábricas forman dos disjuntos subconjuntos M y F del plano euclidiano R 2 . Supongamos también que tenemos una función de costo c : R 2 × R 2 → [0, ∞), de modo que c ( x , Y ) es el coste del transporte de un envío de hierro de x a y. Por simplicidad, ignoramos el tiempo necesario para realizar el transporte. También asumimos que cada mina puede abastecer solo a una fábrica (sin dividir los envíos) y que cada fábrica requiere precisamente un envío para estar en operación (las fábricas no pueden trabajar a la mitad o al doble de capacidad). Después de haber hecho los supuestos anteriores, un plan de transporte es una biyección T : M → F . En otras palabras, cada mina m ∈ M suministra precisamente una fábrica objetivo T ( m ) ∈ F y cada fábrica es abastecida precisamente por una mina. Deseamos encontrar el plan de transporte óptimo , el plan Tcuyo costo total
es el menor de todos los posibles planes de transporte de M a F . Este caso especial motivador del problema del transporte es un ejemplo del problema de la asignación . Más específicamente, equivale a encontrar una coincidencia de peso mínima en un gráfico bipartito.
El siguiente ejemplo simple ilustra la importancia de la función de costos para determinar el plan de transporte óptimo. Supongamos que tenemos n libros de igual ancho en un estante (la línea real ), dispuestos en un solo bloque contiguo. Deseamos reorganizarlos en otro bloque contiguo, pero desplazamos el ancho de un libro hacia la derecha. Se presentan dos candidatos obvios para el plan de transporte óptimo:
