Programa modelo mínimo

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En geometría algebraica , el programa modelo mínimo es parte de la clasificación birracional de variedades algebraicas . Su objetivo es construir un modelo biracional de cualquier variedad proyectiva compleja que sea lo más simple posible. La materia tiene su origen en la geometría biracional clásica de superficies estudiada por la escuela italiana , y actualmente es un área activa de investigación dentro de la geometría algebraica.

La idea básica de la teoría es simplificar la clasificación birracional de variedades encontrando, en cada clase de equivalencia birracional, una variedad que sea "lo más simple posible". El significado preciso de esta frase ha evolucionado con el desarrollo del tema; originalmente para superficies, significaba encontrar una variedad suave para la cual cualquier morfismo biracional con una superficie suave es un isomorfismo .${\ estilo de visualización X}$ ${\displaystyle f\dos puntos X\a X'}$${\ estilo de visualización X'}$

En la formulación moderna, el objetivo de la teoría es el siguiente. Supongamos que se nos da una variedad proyectiva , que por simplicidad se supone no singular. Hay dos casos basados ​​en su dimensión Kodaira : [ ^1]${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización \ kappa (X)}$

La cuestión de si las variedades y que aparecen arriba no son singulares es importante. Parece natural esperar que si comenzamos con liso , siempre podamos encontrar un modelo mínimo o espacio de fibra Fano dentro de la categoría de variedades lisas. Sin embargo, esto no es cierto, por lo que se hace necesario considerar también las variedades singulares. Las singularidades que aparecen se denominan singularidades terminales .${\ estilo de visualización X'}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización X}$

Cada curva algebraica compleja irreducible es birracional a una única curva proyectiva suave, por lo que la teoría de las curvas es trivial. El caso de las superficies fue investigado por primera vez por los geómetras de la escuela italiana hacia 1900; el teorema de contracción de Guido Castelnuovo describe esencialmente el proceso de construcción de un modelo mínimo de cualquier superficie. El teorema establece que cualquier morfismo birracional no trivial debe contraer una curva −1 en un punto suave y, a la inversa, cualquier curva de este tipo puede contraerse suavemente. Aquí, una curva −1 es una curva racional suave C con autointersección Cualquier curva de este tipo debe tener lo que muestra que si la clase canónica es nef, entonces la superficie no tiene curvas −1.${\displaystyle f\dos puntos X\a Y}$${\displaystyle C\cdot C=-1.}$${\displaystyle K\cdot C=-1}$

El teorema de Castelnuovo implica que para construir un modelo mínimo para una superficie lisa, simplemente contraemos todas las curvas −1 en la superficie, y la variedad resultante Y es un modelo mínimo (único) con K nef, o una superficie reglada (que es lo mismo que un espacio de fibra de Fano bidimensional, y es un plano proyectivo o una superficie reglada sobre una curva). En el segundo caso, la superficie reglada birracional a X no es única, aunque sí existe una única isomorfa al producto de la línea proyectiva y una curva.

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