En la geometría algebraica , la dimensión Kodaira κ ( X ) mide el tamaño de la modelo canónico de un variedad proyectiva X .
Igor Shafarevich introdujo un importante invariante numérico de superficies con la notación κ en el seminario Shafarevich 1965 . Shigeru Iitaka ( 1970 ) lo amplió y definió la dimensión Kodaira para variedades de dimensiones superiores (bajo el nombre de dimensión canónica), y luego la nombró en honor a Kunihiko Kodaira en Iitaka (1971) .
La plurigenera
El paquete canónico de una variedad algebraica uniforme X de dimensión n sobre un campo es el paquete de líneas de n- formas,
que es el n º potencia exterior del fibrado cotangente de X . Para un número entero d , la d- ésima potencia del tensor de K X es de nuevo un haz de líneas. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de las secciones globales H 0 ( X , K X d ) tiene la propiedad notable de que es una invariante birracional de suave variedades proyectiva X . Es decir, este espacio vectorial se identifica canónicamente con el espacio correspondiente para cualquier variedad proyectiva suave que sea isomorfa a X fuera de los subconjuntos de dimensiones inferiores.
Para d ≥ 0, el d- ésimo plurigenus de X se define como la dimensión del espacio vectorial de las secciones globales de K X d :
Las plurigenera son importantes invariantes biracionales de variedad algebraica. En particular, la forma más sencilla de demostrar que una variedad no es racional (es decir, que no es biracional al espacio proyectivo) es demostrar que algunos plurigenus P d con d > 0 no es cero. Si el espacio de las secciones de K X d es distinto de cero, entonces hay un mapa racional natural de X al espacio proyectivo
llamado el mapa d - canonical . El anillo canónico R ( K X ) de una variedad X es el anillo graduado
Consulte también género geométrico y género aritmético .
La dimensión de Kodaira de X se define comosi la plurigenera P d es cero para todo d > 0; de lo contrario, es el mínimo κ tal que P d / d κ está acotado. La dimensión de Kodaira de una variedad n- dimensional eso un número entero en el intervalo de 0 a n .
Interpretaciones de la dimensión Kodaira
Los siguientes números enteros son iguales si no son negativos. Una buena referencia es Lazarsfeld (2004) , Teorema 2.1.33.
- Si el anillo canónico se genera de forma finita, lo cual es cierto en la característica cero y se conjetura en general: la dimensión de la construcción del proyecto. (esta variedad se llama modelo canónico de X ; solo depende de la clase de equivalencia bracional de X ).
- La dimensión de la imagen del mapeo d -canónico para todos los múltiplos positivos d de algún entero positivo.
- El grado de trascendencia del campo de fracción de R , menos uno, es decir,, donde t es el número de generadores algebraicamente independientes que se pueden encontrar.
- La tasa de crecimiento de la plurigenera: es decir, el menor número κ tal queestá ligado. En notación Big O , es el mínimo κ tal que.
Cuando uno de estos números no está definido o es negativo, todos lo son. En este caso, se dice que la dimensión de Kodaira es negativa o. Algunas referencias históricas lo definen como -1, pero luego la fórmulano siempre se sostiene, y el enunciado de la conjetura de Iitaka se vuelve más complicado. Por ejemplo, la dimensión Kodaira de es Para todas las variedades X .
Solicitud
La dimensión de Kodaira proporciona una útil división aproximada de todas las variedades algebraicas en varias clases.
Las variedades con una dimensión de Kodaira baja se pueden considerar especiales, mientras que las variedades de dimensión máxima de Kodaira se consideran de tipo general .
Geométricamente, existe una correspondencia muy aproximada entre la dimensión y la curvatura de Kodaira: la dimensión de Kodaira negativa corresponde a la curvatura positiva, la dimensión de Kodaira cero corresponde a la planitud y la dimensión de Kodaira máxima (tipo general) corresponde a la curvatura negativa.
La especialidad de las variedades de baja dimensión de Kodaira es análoga a la especialidad de las variedades riemannianas de curvatura positiva (y el tipo general corresponde a la genéricaidad de la curvatura no positiva); véanse los teoremas clásicos , especialmente sobre la curvatura seccional comprimida y la curvatura positiva .
Estas declaraciones se hacen más precisas a continuación.
Dimensión 1
Las curvas proyectivas suaves se clasifican discretamente por género , que puede ser cualquier número natural g = 0, 1, ....
Aquí, "clasificado discretamente" significa que para un género dado, hay un espacio de módulos irreductibles de curvas de ese género.
La dimensión de Kodaira de una curva X es:
- κ = : género 0 (la línea proyectiva P 1 ): K X no es efectivo, P d = 0 para todo d> 0 .
- κ = 0: género 1 ( curvas elípticas ): K X es un paquete trivial , P d = 1 para todo d ≥ 0.
- κ = 1: género g ≥ 2: K X es amplio , P d = (2 d - 1) ( g - 1) para todo d ≥ 2.
Compare con el teorema de Uniformización para superficies (superficies reales, ya que una curva compleja tiene dimensión real 2): dimensión de Kodairacorresponde a la curvatura positiva, la dimensión 0 de Kodaira corresponde a la planitud, la dimensión 1 de Kodaira corresponde a la curvatura negativa. Tenga en cuenta que la mayoría de las curvas algebraicas son de tipo general: en el espacio de módulos de curvas, dos componentes conectados corresponden a curvas que no son de tipo general, mientras que todos los demás componentes corresponden a curvas de tipo general. Además, el espacio de las curvas del género 0 es un punto, el espacio de las curvas del género 1 tiene una dimensión (compleja) 1 y el espacio de las curvas del género g ≥ 2 tiene una dimensión 3 g - 3.
la tabla de clasificación de curvas algebraicas Dimensión Kodaira
κ ( C )género de C : g ( C ) estructura curva de tipo general curva elíptica la linea proyectiva
Dimensión 2
La clasificación de Enriques-Kodaira clasifica las superficies algebraicas: groseramente por dimensión de Kodaira, luego con más detalle dentro de una dimensión de Kodaira dada. Para dar algunos ejemplos simples: el producto P 1 × X tiene dimensión Kodairapara cualquier curva X ; el producto de dos curvas del género 1 (una superficie abeliana) tiene una dimensión de Kodaira 0; el producto de una curva del género 1 con una curva del género al menos 2 (una superficie elíptica) tiene una dimensión Kodaira 1; y el producto de dos curvas del género al menos 2 tiene una dimensión Kodaira 2 y, por tanto, es de tipo general .
la tabla de clasificación de superficies algebraicas Dimensión Kodaira
κ ( C )género geométrico
p girregularidad
qestructura superficie de tipo general superficie elíptica superficie abeliana superficie hiperelíptica Superficie K3 Superficie de Enriques superficie reglada superficie racional
Para una superficie X de tipo general, la imagen del mapa d- canónico es biracional a X si d ≥ 5.
Cualquier dimensión
Las variedades racionales (variedades biracionales al espacio proyectivo) tienen dimensión Kodaira. Las variedades abelianas (los toros complejos compactos que son proyectivos) tienen una dimensión de Kodaira cero. Más en general, variedades de Calabi-Yau (en la dimensión 1, las curvas elípticas , en dimensión 2, superficies abelianos , K3 superficies , y cocientes de las variedades de grupos finitos) tienen dimensión Kodaira cero (que corresponde a la admisión de métricas planas Ricci).
Cualquier variedad en la característica cero que esté cubierta por curvas racionales (mapas no constantes de P 1 ), llamada variedad uniruled , tiene una dimensión de Kodaira −∞. Por el contrario, las principales conjeturas de la teoría del modelo mínimo (en particular, la conjetura de la abundancia) implicarían que cada variedad de dimensión de Kodaira −∞ no tiene reglas. Este inverso es conocido por variedades de dimensión como máximo 3.
Siu (2002) demostró la invariancia de plurigenera bajo deformaciones para todas las variedades proyectivas complejas lisas. En particular, la dimensión de Kodaira no cambia cuando la estructura compleja del colector cambia continuamente.
la tabla de clasificación de tres algebraicos Dimensión Kodaira
κ ( C )género geométrico
p girregularidad
qejemplos triple de tipo general fibración sobre una superficie con fibra general una curva elíptica fibración sobre una curva con fibra general una superficie con κ = 0 variedad abeliana haz de fibras sobre una superficie abeliana cuyas fibras son curvas elípticas o haz de fibras sobre una curva elíptica cuyas fibras son superficies con κ = 0 o Calabi – Yau triple uniruled 3 pliegues 3 pliegues racionales , Fano 3 pliegues y otros
Una fibración de variedades proyectivas normales X → Y significa un morfismo sobreyectivo con fibras conectadas.
Para una X triple de tipo general, la imagen del mapa d- canónico es biracional a X si d ≥ 61. [1]
Tipo general
Una variedad de tipo general X es una de dimensión máxima de Kodaira (dimensión de Kodaira igual a su dimensión):
Las condiciones equivalentes son que el paquete de líneas es grande , o que el mapa d -canónico es genéricamente inyectivo (es decir, un mapa biracional de su imagen) para d suficientemente grande.
Por ejemplo, una variedad con amplio paquete canónico es de tipo general.
En cierto sentido, la mayoría de las variedades algebraicas son de tipo general. Por ejemplo, una hipersuperficie lisa de grado d en el espacio proyectivo n- dimensional es de tipo general si y solo si. En ese sentido, la mayoría de las hipersuperficies lisas en el espacio proyectivo son de tipo general.
Las variedades de tipo general parecen demasiado complicadas para clasificarlas explícitamente, incluso para las superficies. No obstante, hay algunos resultados positivos fuertes sobre las variedades de tipo general. Por ejemplo, Enrico Bombieri demostró en 1973 que el mapa d- canónico de cualquier superficie compleja de tipo general es biracional para cada. De manera más general, Christopher Hacon y James McKernan , Shigeharu Takayama y Hajime Tsuji demostraron en 2006 que por cada entero positivo n , hay una constantetal que el mapa d- canónico de cualquier variedad compleja n- dimensional de tipo general es biracional cuando.
El grupo de automorfismos biracionales de una variedad de tipo general es finito.
Aplicación a la clasificación
Sea X una variedad de dimensión de Kodaira no negativa sobre un campo de característica cero, y sea B el modelo canónico de X , B = Proj R ( X , K X ); la dimensión de B es igual a la dimensión Kodaira de X . Hay un mapa racional natural X - → B ; cualquier morfismo obtenido de él al hacer estallar X y B se llama fibración Iitaka . El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que la fibra general de la fibración Iitaka se puede ordenar para que sea una variedad Calabi-Yau , que en particular tiene una dimensión de Kodaira cero. Además, hay un divisor Q efectivo Δ en B (no único) tal que el par ( B , Δ) es klt , K B + Δ es amplio y el anillo canónico de X es el mismo que el anillo canónico de ( B , Δ) en grados un múltiplo de algún d > 0. [2] En este sentido, X se descompone en una familia de variedades de dimensión cero de Kodaira sobre una base ( B , Δ) de tipo general. (Tenga en cuenta que la variedad B en sí misma no necesita ser de tipo general. Por ejemplo, hay superficies de Kodaira dimensión 1 para las cuales la fibración Iitaka es una fibración elíptica sobre P 1 ).
Dadas las conjeturas mencionadas, la clasificación de variedades algebraicas se reduciría en gran medida a los casos de dimensión Kodaira , 0 y tipo general. Para la dimensión de Kodairay 0, existen algunos enfoques de clasificación. El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que cada variedad de dimensión de Kodairaes uniruled , y se sabe que cada variedad uniruled en característica cero es biracional a un espacio de fibra Fano . El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que cada variedad de Kodaira dimensión 0 es biracional a una variedad Calabi-Yau con singularidades terminales .
La conjetura de Iitaka establece que la dimensión Kodaira de una fibración es al menos la suma de la dimensión Kodaira de la base y la dimensión Kodaira de una fibra general; ver Mori (1987) para una encuesta. La conjetura de Iitaka ayudó a inspirar el desarrollo de la teoría del modelo mínimo en las décadas de 1970 y 1980. Ahora se conoce en muchos casos y se seguiría en general del modelo mínimo y las conjeturas de abundancia.
La relación con las variedades de Moishezon
Nakamura y Ueno probaron la siguiente fórmula de aditividad para variedades complejas ( Ueno (1975) ). Aunque no se requiere que el espacio base sea algebraico, la suposición de que todas las fibras son isomórficas es muy especial. Incluso con esta suposición, la fórmula puede fallar cuando la fibra no es Moishezon.
- Sea π: V → W un haz de fibras analíticas de variedades complejas compactas, lo que significa que π es localmente un producto (por lo que todas las fibras son isomorfas como variedades complejas). Suponga que la fibra F es una variedad de Moishezon . Luego
Notas
- ^ JA Chen y M. Chen, Geometría biracional explícita de 3 pliegues y 4 pliegues de tipo general III, Teorema 1.4.
- ^ O. Fujino y S. Mori, J. Diff. Geom. 56 (2000), 167-188. Teoremas 5.2 y 5.4.
Referencias
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- Fujino, Osamu; Mori, Shigefumi (2000), "A canonical bundle formula", Journal of Differential Geometry , 56 (1): 167–188, doi : 10.4310 / jdg / 1090347529 , MR 1863025
- Iitaka, Shigeru (1970), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", Proc. Japón Acad. , 46 (6): 487–489, doi : 10.3792 / pja / 1195520260 , MR 0285532
- Iitaka, Shigeru (1971), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", J. Math. Soc. Japón , 23 (2): 356–373, doi : 10.2969 / jmsj / 02320356 , MR 0285531
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