Avión de Moulton

El avión de Moulton . Las líneas que se inclinan hacia abajo y hacia la derecha se doblan donde cruzan el eje y .

En geometría de incidencia , el plano de Moulton es un ejemplo de plano afín en el que no se cumple el teorema de Desargues . Lleva el nombre del astrónomo estadounidense Forest Ray Moulton . Los puntos del plano de Moulton son simplemente los puntos en el plano real R ² y las líneas son también las líneas regulares, con la excepción de que para las líneas con pendiente negativa , la pendiente se duplica cuando pasan el eje y .

Definicion formal

El plano de Moulton es una estructura de incidencia , donde denota el conjunto de puntos, el conjunto de líneas y la relación de incidencia "se encuentra en":${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle }$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\textrm {I}}}$

${\displaystyle P:=\mathbb {R} ^{2}\,}$

${\displaystyle G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \infty }$es solo un símbolo formal de un elemento . Se utiliza para describir líneas verticales, que puede considerar como líneas con una pendiente infinitamente grande.${\displaystyle \not \in \mathbb {R} }$

La relación de incidencia se define de la siguiente manera:

Porque y tenemos${\displaystyle p=(x,y)\in P}$${\displaystyle g=(m,b)\in G}$

${\displaystyle p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{if }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{if }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{if }}m\geq 0{\text{ or }}x\geq 0.\end{cases}}}$

Solicitud

El plano de Moulton es un plano afín en el que no se cumple el teorema de Desargues. ^[1] En consecuencia, el plano proyectivo asociado tampoco es desarguesiano. Esto significa que hay aviones proyectivas no isomorfo a para cualquier campo (skew) F . Aquí es el plano proyectivo determinada por un espacio de vector 3-dimensional sobre el (skew) campo F .${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle P(F^{3})}$

Notas

1. Beutelspacher y Rosenbaum 1998 , p. 77

Referencias

• Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva: de los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press, págs.  76–78 , ISBN 978-0-521-48364-3
• Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 3 (2): 192-195, doi : 10.2307 / 1986419 , ISSN  0002 -9947 , JSTOR  1986419
• Richard S. Millman, George D. Parker: Geometría: un enfoque métrico con modelos . Springer 1991, ISBN 9780387974125 , págs. 97-104