En geometría , un plano afín es un sistema de puntos y líneas que satisfacen los siguientes axiomas: [1]
- Dos puntos distintos se encuentran en una línea única.
- Cada línea tiene al menos dos puntos.
- Dada cualquier línea y cualquier punto que no esté en esa línea, hay una línea única que contiene el punto y no se encuentra con la línea dada. ( Axioma de Playfair )
- Existen tres puntos no colineales (puntos que no están en una sola línea).
En un plano afín, dos líneas se denominan paralelas si son iguales o no unidas . Usando esta definición, el axioma de Playfair anterior se puede reemplazar por: [2]
- Dado un punto y una línea, hay una línea única que contiene el punto y es paralela a la línea.
El paralelismo es una relación de equivalencia en las líneas de un plano afín.
Dado que en los axiomas no intervienen conceptos distintos de los que involucran la relación entre puntos y líneas, un plano afín es un objeto de estudio perteneciente a la geometría de incidencia . Son espacios lineales no degenerados que satisfacen el axioma de Playfair.
El familiar plano euclidiano es un plano afín. Hay muchos planos afines finitos e infinitos. Además de planos afines sobre campos (y anillos de división ), también hay muchos planos no desarguesianos , no derivados de coordenadas en un anillo de división, que satisfacen estos axiomas. El avión de Moulton es un ejemplo de uno de estos. [3]
Planos afines finitos
Si el número de puntos en un plano afín es finito, entonces si una línea del plano contiene n puntos, entonces:
- cada línea contiene n puntos,
- cada punto está contenido en n + 1 líneas,
- hay n 2 puntos en total, y
- hay un total de n 2 + n líneas.
El número n se llama orden del plano afín.
Todos los planos afines finitos conocidos tienen órdenes que son números enteros de potencia primos o primos. El plano afín más pequeño (de orden 2) se obtiene eliminando una línea y los tres puntos de esa línea del plano de Fano . Una construcción similar, a partir del plano proyectivo de orden tres, produce el plano afín de orden tres a veces llamado configuración de Hesse . Un plano afín de orden n existe si y solo si existe un plano proyectivo de orden n (sin embargo, la definición de orden en estos dos casos no es la misma). Por tanto, no existe un plano afín de orden 6 o de orden 10 ya que no hay planos proyectivos de esos órdenes. El teorema de Bruck-Ryser-Chowla proporciona limitaciones adicionales sobre el orden de un plano proyectivo y, por tanto, el orden de un plano afín.
Las n 2 + n líneas de un plano afín de orden n caen en n + 1 clases de equivalencia de n líneas cada una bajo la relación de equivalencia de paralelismo. Estas clases se denominan clases de líneas paralelas . Las líneas de cualquier clase paralela forman una partición de los puntos del plano afín. Cada una de las n + 1 líneas que pasan por un solo punto se encuentra en una clase paralela diferente.
La estructura de clases paralelas de un plano afín de orden n puede usarse para construir un conjunto de n - 1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales . Solo se necesitan las relaciones de incidencia para esta construcción.
Relación con planos proyectivos
Un plano afín se puede obtener de cualquier plano proyectivo quitando una línea y todos los puntos en él, y a la inversa, cualquier plano afín se puede usar para construir un plano proyectivo agregando una línea en el infinito , cada uno de cuyos puntos es ese punto en el infinito. donde se encuentra una clase de equivalencia de líneas paralelas.
Si el plano proyectivo no es desarguesiano , la eliminación de diferentes líneas podría resultar en planos afines no isomórficos. Por ejemplo, hay exactamente cuatro planos proyectivos de orden nueve y siete planos afines de orden nueve. [4] Sólo existe un plano afín correspondiente al plano desarguesiano de orden nueve ya que el grupo de colinaciones de ese plano proyectivo actúa transitivamente sobre las líneas del plano. Cada uno de los tres planos no desarguesianos de orden nueve tiene grupos de colineación que tienen dos órbitas en las líneas, produciendo dos planos afines no isomórficos de orden nueve, dependiendo de qué órbita se seleccione la línea a eliminar.
Planos de traducción afines
Una línea l en un plano proyectivo Π es una línea de traslación si el grupo de elaciones con eje l actúa transitivamente sobre los puntos del plano afín obtenido al quitar l del plano Π . Un plano proyectivo con una línea de traslación se denomina plano de traslación y el plano afín obtenido al eliminar la línea de traslación se denomina plano de traslación afín . Si bien en general es más fácil trabajar con planos proyectivos, en este contexto se prefieren los planos afines y varios autores simplemente usan el término plano de traducción para referirse al plano de traducción afín. [5]
Un punto de vista alternativo de los planos de traducción afines se puede obtener como sigue: Sea V sea un 2 n -dimensional espacio vectorial sobre un campo F . Una propagación de V es un conjunto S de n subespacios -dimensional de V que partición la no-cero vectores de V . Los miembros de S son llamados los componentes de la propagación y si V i y V j son componentes distintos entonces V i ⊕ V j = V . Deje que A sea la estructura de incidencia cuyos puntos son los vectores de V y cuyas líneas son las clases laterales de los componentes, es decir, conjuntos de la forma v + T donde v es un vector de V y U es un componente de la propagación S . Entonces: [6]
- A es un plano afín y el grupo de traslaciones x → x + w para un vector w es un grupo de automorfismos que actúa regularmente sobre los puntos de este plano.
Generalización: k -nets
Una estructura de incidencia más general que un plano afín finito es un k - neto de orden n . Consiste en n 2 puntos y nk líneas tales que:
- El paralelismo (como se define en planos afines) es una relación de equivalencia en el conjunto de líneas.
- Cada línea tiene exactamente n puntos, y cada clase paralela tiene n líneas (por lo que cada clase de líneas paralelas divide el conjunto de puntos).
- Hay k clases de líneas paralelas. Cada punto se encuentra exactamente en k líneas, una de cada clase paralela.
Una ( n + 1) -net de orden n es precisamente un plano afín de orden n .
Un k - neto de orden n es equivalente a un conjunto de k - 2 cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden n .
Ejemplo: redes de traducción
Para un campo arbitrario F , sea Σ un conjunto de subespacios n- dimensionales del espacio vectorial F 2 n , dos de los cuales se intersecan solo en {0} (llamado dispersión parcial ). Los miembros de Σ , y sus clases laterales en F 2 n , forman las líneas de una red de traslación en los puntos de F 2 n . Si | Σ | = k esta es una k -net de orden | F n | . Comenzando con un plano de traducción afín , cualquier subconjunto de las clases paralelas formará una red de traducción.
Dada una red de traslación, no siempre es posible agregar clases paralelas a la red para formar un plano afín. Sin embargo, si F es un campo infinito, cualquier dispersión parcial Σ con menos de | F | los miembros se pueden ampliar y la red de traducción se puede completar a un plano de traducción afín. [7]
Códigos geométricos
Dada la matriz de incidencia "línea / punto" de cualquier estructura de incidencia finita , M , y cualquier campo , F , el espacio de filas de M sobre F es un código lineal que podemos denotar por C = C F ( M ) . Otro código relacionado que contiene información sobre la estructura de incidencia es el casco de C, que se define como: [8]
donde C ⊥ es el código ortogonal a C .
No se puede decir mucho sobre estos códigos en este nivel de generalidad, pero si la estructura de incidencia tiene alguna "regularidad", los códigos producidos de esta manera se pueden analizar y la información sobre los códigos y las estructuras de incidencia se puede obtener entre sí. Cuando la estructura de incidencia es un plano afín finito, los códigos pertenecen a una clase de códigos conocidos como códigos geométricos . La cantidad de información que lleva el código sobre el plano afín depende en parte de la elección del campo. Si la característica del campo no divide el orden del plano, el código generado es el espacio completo y no contiene ninguna información. Por otro lado, [9]
- Si π es un plano afín de orden n y F es un campo de característica p , donde p divide n , entonces el peso mínimo del código B = Casco ( C F ( π )) ⊥ es n y todos los vectores de peso mínimo son múltiplos constantes de vectores cuyas entradas son cero o uno.
Además, [10]
- Si π es un plano afín de orden p y F es un cuerpo de característica p , entonces C = Hull ( C F ( π )) ⊥ y los vectores de ponderación mínimo son precisamente los múltiplos escalares de la (vectores de incidencia de) líneas de π .
Cuando π = AG (2, q ) el código geométrico generado es el q -ary Código Reed-Muller .
Espacios afines
Los espacios afines se pueden definir de manera análoga a la construcción de planos afines a partir de planos proyectivos. También es posible proporcionar un sistema de axiomas para los espacios afines de dimensiones superiores que no se refiere al espacio proyectivo correspondiente . [11]
Notas
- ^ Hughes y Piper 1973 , p. 82
- ^ Hartshorne 2000 , p. 71
- ^ Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 3 (2): 192-195, doi : 10.2307 / 1986419 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986419
- ^ Moorhouse 2007 , p. 11
- ^ Hughes y Piper 1973 , p. 100
- ^ Moorhouse 2007 , p. 13
- ^ Moorhouse 2007 , págs. 21-22
- ^ Assmus Jr. y Key 1992 , p. 43
- ^ Assmus Jr. y Key 1992 , p. 208
- ^ Assmus Jr. y Key 1992 , p. 211
- ^ Lenz 1961 , p. 138, pero véase también Cameron 1991 , capítulo 3
Referencias
- Assmus Jr., EF; Key, JD (1992), Diseños y sus códigos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
- Cameron, Peter J. (1991), Espacios proyectivos y polares , QMW Maths Notes, 13 , Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
- Hartshorne, R. (2000), Geometría: Euclides y más allá , Springer, ISBN 0387986502
- Hughes, D .; Piper, F. (1973), Planos proyectivos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Lenz, H. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik , Berlín: Deutscher Verlag d. Wiss.
- Moorhouse, Eric (2007), geometría de incidencia (PDF)
Otras lecturas
- Casse, Rey (2006), Geometría proyectiva: Introducción , Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer Verlag
- Kárteszi, F. (1976), Introducción a las geometrías finitas , Amsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 0-7204-2832-7
- Lindner, Charles C .; Rodger, Christopher A. (1997), Teoría del diseño , CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
- Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
- Stevenson, Frederick W. (1972), Planos proyectivos , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9