En la teoría de redes , redes multidimensionales , un tipo especial de red multicapa , son redes con múltiples tipos de relaciones. [1] [2] [3] [4] [5] [6] Los intentos cada vez más sofisticados de modelar sistemas del mundo real como redes multidimensionales han proporcionado información valiosa en los campos del análisis de redes sociales , [2] [3] [7 ] [8] [9] [10] economía, transporte urbano e internacional , [11] [12] [13] ecología , [14] [15] [16] [17]psicología, [18] [19] medicina, biología, [20] comercio, climatología, física, [21] [22] neurociencia computacional , [23] [24] [25] [26] gestión de operaciones , infraestructuras [27] y Finanzas.
Terminología
La rápida exploración de redes complejas en los últimos años se ha visto afectada por la falta de convenciones de nomenclatura estandarizadas, ya que varios grupos utilizan terminología superpuesta y contradictoria [28] [29] para describir configuraciones de red específicas (p. Ej., Múltiplex, multicapa, multinivel, multidimensional, multirrelacional, interconectado). Formalmente, las redes multidimensionales son multigrafos con etiquetas de borde . [30] El término "totalmente multidimensional" también se ha utilizado para hacer referencia a un multigraph multipartito con etiqueta de borde. [31] Las redes multidimensionales también se han reformulado recientemente como instancias específicas de redes multicapa. [4] [5] [32] En este caso, hay tantas capas como dimensiones, y los vínculos entre los nodos dentro de cada capa son simplemente todos los vínculos para una dimensión determinada.
Definición
Redes multicapa no ponderadas
En la teoría de redes elemental, una red está representada por un gráfico en el cual es el conjunto de nodos ylos enlaces entre nodos, normalmente representados como una tupla de nodos. Si bien esta formalización básica es útil para analizar muchos sistemas, las redes del mundo real a menudo tienen una complejidad adicional en forma de múltiples tipos de relaciones entre los elementos del sistema. Una formalización temprana de esta idea vino a través de su aplicación en el campo del análisis de redes sociales (ver, por ejemplo, [33] y artículos sobre álgebras relacionales en redes sociales) en el que múltiples formas de conexión social entre personas estaban representadas por múltiples tipos de vínculos. . [34]
Para acomodar la presencia de más de un tipo de enlace, una red multidimensional está representada por un triple , dónde es un conjunto de dimensiones (o capas), cada miembro del cual es un tipo diferente de enlace, y consta de triples con y . [5]
Tenga en cuenta que, como en todos los gráficos dirigidos , los enlaces y son distintos.
Por convención, el número de enlaces entre dos nodos en una dimensión determinada es 0 o 1 en una red multidimensional. Sin embargo, el número total de enlaces entre dos nodos en todas las dimensiones es menor o igual a.
Redes multicapa ponderadas
En el caso de una red ponderada , este triplete se expande a un cuatrillizo, dónde es el peso en el enlace entre y en la dimensión .
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Además, como suele ser útil en el análisis de redes sociales, los pesos de los enlaces pueden adoptar valores positivos o negativos. Estas redes firmadas pueden reflejar mejor relaciones como la amistad y la enemistad en las redes sociales. [31] Alternativamente, los letreros de enlace pueden figurar como dimensiones, [35] p . Ej. dónde y Este enfoque tiene un valor particular cuando se consideran redes no ponderadas.
Esta concepción de dimensionalidad puede expandirse si los atributos en múltiples dimensiones necesitan ser especificados. En este caso, los enlaces son n- tuplas. Una formulación tan expandida, en la que pueden existir vínculos dentro de múltiples dimensiones, es poco común, pero se ha utilizado en el estudio de redes multidimensionales que varían en el tiempo . [36]
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Formulación general en términos de tensores
Mientras que las redes unidimensionales tienen matrices de adyacencia bidimensionales de tamaño, en una red multidimensional con dimensiones, la matriz de adyacencia se convierte en un tensor de adyacencia multicapa, una matriz de tamaño de cuatro dimensiones . [2] Al utilizar la notación de índice , las matrices de adyacencia se pueden indicar mediante, para codificar conexiones entre nodos y , mientras que los tensores de adyacencia multicapa se indican mediante , para codificar conexiones entre nodos en capa y nodo en capa . Al igual que en las matrices unidimensionales, este marco se adapta fácilmente a los enlaces dirigidos, los enlaces firmados y los pesos.
En el caso de las redes multiplex , que son tipos especiales de redes multicapa donde los nodos no pueden interconectarse con otros nodos en otras capas, una matriz tridimensional de tamaño con entradas es suficiente para representar la estructura del sistema [7] [37] mediante la codificación de conexiones entre nodos y en capa .
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Definiciones específicas de la red multidimensional
Vecinos multicapa
En una red multidimensional, los vecinos de algún nodo ¿Están todos los nodos conectados a a través de dimensiones.
Longitud de la ruta de varias capas
Una ruta entre dos nodos en una red multidimensional se puede representar mediante un vector r en el que la La entrada en r es el número de enlaces atravesados en ela dimensión de . [38] Al igual que con el grado de superposición, la suma de estos elementos se puede tomar como una medida aproximada de la longitud de una ruta entre dos nodos.
Red de capas
La existencia de múltiples capas (o dimensiones) permite introducir el nuevo concepto de red de capas , [2] peculiar de las redes multicapa. De hecho, las capas pueden estar interconectadas de tal manera que su estructura pueda ser descrita por una red, como se muestra en la figura.
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La red de capas suele estar ponderada (y podría estar dirigida), aunque, en general, las ponderaciones dependen de la aplicación de interés. Un enfoque simple es, para cada par de capas, sumar todos los pesos en las conexiones entre sus nodos para obtener pesos de borde que se pueden codificar en una matriz.. El tensor de adyacencia de rango 2, que representa la red subyacente de capas en el espacio. es dado por
dónde es la matriz canónica con todos los componentes iguales a cero excepto la entrada correspondiente a la fila y columna , que es igual a uno. Usando la notación tensorial, es posible obtener la red (ponderada) de capas del tensor de adyacencia multicapa como. [2]
Medidas de centralidad
La licenciatura
En una red multidimensional no interconectada, donde los enlaces entre capas están ausentes, el grado de un nodo está representado por un vector de longitud. Aquí es una forma alternativa de denotar el número de capas en redes multicapa. Sin embargo, para algunos cálculos puede resultar más útil sumar simplemente el número de enlaces adyacentes a un nodo en todas las dimensiones. [2] [39] Este es el grado de superposición : [3] . Al igual que con las redes unidimensionales, se puede establecer una distinción similar entre enlaces entrantes y enlaces salientes. Si hay enlaces entre capas, la definición anterior debe adaptarse para dar cuenta de ellos, y el grado de múltiples capas viene dado por
donde los tensores y tener todos los componentes iguales a 1. La heterogeneidad en el número de conexiones de un nodo a través de las diferentes capas se puede tener en cuenta a través del coeficiente de participación. [3]
Versatilidad como centralidad multicapa
Cuando se extiende a redes interconectadas de múltiples capas, es decir, aquellos sistemas donde los nodos están conectados a través de capas, el concepto de centralidad se comprende mejor en términos de versatilidad. [9] Los nodos que no son centrales en cada capa pueden ser los más importantes para los sistemas multicapa en ciertos escenarios. Por ejemplo, este es el caso cuando dos capas codifican redes diferentes con un solo nodo en común: es muy probable que dicho nodo tenga la puntuación de centralidad más alta porque es responsable del flujo de información a través de las capas.
Versatilidad de vectores propios
En cuanto a las redes unidimensionales, la versatilidad de los vectores propios se puede definir como la solución del problema de los valores propios dada por , donde se utiliza la convención de suma de Einstein en aras de la simplicidad. Aquí,da la generalización multicapa de la centralidad del vector propio de Bonacich por nodo por capa. La versatilidad general del vector propio se obtiene simplemente sumando las puntuaciones de las capas como. [2] [9]
Versatilidad Katz
En cuanto a su contraparte unidimensional , se obtiene la versatilidad Katz como solución de la ecuación tensorial , dónde , es una constante menor que el valor propio más grande y es otra constante generalmente igual a 1. La versatilidad general de Katz se obtiene simplemente sumando las puntuaciones en las capas como . [9]
HITS versatilidad
Para las redes unidimensionales, Jon Kleinberg introdujo originalmente el algoritmo HITS para calificar las páginas web. La suposición básica del algoritmo es que las páginas relevantes, autoridades nombradas, son apuntadas por páginas web especiales, centros nombrados. Este mecanismo se puede describir matemáticamente mediante dos ecuaciones acopladas que se reducen a dos problemas de valores propios. Cuando la red no está dirigida, la centralidad de la Autoridad y el Hub son equivalentes a la centralidad del vector propio. Estas propiedades se conservan mediante la extensión natural de las ecuaciones propuestas por Kleinberg al caso de redes multicapa interconectadas, dada por y , dónde indica el operador de transposición, y indican centralidad de centro y autoridad, respectivamente. Al contraer el eje y los tensores de autoridad, se obtienen las versatilidades generales como y , respectivamente. [9]
Versatilidad de PageRank
PageRank , más conocido como algoritmo de búsqueda de Google, es otra medida de centralidad en redes complejas, introducido originalmente para clasificar las páginas web. Su extensión al caso de redes multicapa interconectadas se puede obtener de la siguiente manera.
Primero, vale la pena señalar que PageRank puede verse como la solución de estado estable de un proceso especial de Markov en la parte superior de la red. Los caminantes aleatorios exploran la red de acuerdo con una matriz de transición especial y su dinámica se rige por una ecuación maestra de caminata aleatoria . Es fácil demostrar que la solución de esta ecuación es equivalente al vector propio principal de la matriz de transición.
También se han definido paseos aleatorios en el caso de redes multicapa interconectadas [13] y multigrafos de color de borde (también conocidos como redes multiplex). [40] Para redes interconectadas multicapa, el tensor de transición que gobierna la dinámica de los caminantes aleatorios dentro y entre capas viene dado por, dónde es una constante, generalmente establecida en 0.85, es el número de nodos y es el número de capas o dimensiones. Aquí,podría llamarse tensor de Google y es el tensor de rango 4 con todos los componentes iguales a 1.
Como su contraparte unidimensional, la versatilidad de PageRank consta de dos contribuciones: una que codifica una caminata aleatoria clásica con tasa y una codificación de teletransportación a través de nodos y capas con tasa .
Si indicamos por el eigentensor del tensor de Google, que denota la probabilidad de estado estable de encontrar al caminante en el nodo y capa , el PageRank multicapa se obtiene sumando en capas el eigentensor: [9]
Coeficientes de agrupamiento y cierre triádico
Como muchas otras estadísticas de red, el significado de un coeficiente de agrupamiento se vuelve ambiguo en redes multidimensionales, debido al hecho de que los triples pueden cerrarse en dimensiones diferentes a las que se originaron. [3] [41] [42] Se han realizado varios intentos para definir coeficientes de agrupamiento local, pero estos intentos han resaltado el hecho de que el concepto debe ser fundamentalmente diferente en dimensiones superiores: algunos grupos han basado su trabajo en definiciones no estándar , [42] mientras que otros han experimentado con diferentes definiciones de paseos aleatorios y 3 ciclos en redes multidimensionales. [3] [41]
Descubrimiento de la comunidad
Si bien las estructuras multidimensionales se han estudiado anteriormente, [43] [44] no logran detectar asociaciones más sutiles que se encuentran en algunas redes. Adoptar una visión ligeramente diferente de la definición de "comunidad" en el caso de redes multidimensionales permite una identificación confiable de las comunidades sin el requisito de que los nodos estén en contacto directo entre sí. [2] [7] [8] [45] Por ejemplo, dos personas que nunca se comunican directamente pero que navegan por muchos de los mismos sitios web serían candidatos viables para este tipo de algoritmo.
Maximización de la modularidad
Mucha et al. Propusieron originalmente una generalización del conocido método de maximización de la modularidad para el descubrimiento de comunidades. [7] Este método de resolución múltiple asume una representación tensorial tridimensional de la conectividad de la red dentro de las capas, como para los multigrafos de colores de borde, y una representación tensorial tridimensional de la conectividad de la red a través de las capas. Depende del parámetro de resolución y el peso de conexiones entre capas. En una notación más compacta, haciendo uso de la notación tensorial, la modularidad se puede escribir como, dónde , es el tensor de adyacencia multicapa, es el tensor que codifica el modelo nulo y el valor de los componentes de se define como 1 cuando un nodo en capa pertenece a una comunidad en particular, etiquetada por índice y 0 cuando no es así. [2]
Descomposición del tensor
Se ha propuesto la factorización matricial no negativa para extraer la estructura de actividad comunitaria de las redes temporales. [46] La red multicapa está representada por un tensor tridimensional., como un multigraph de color de borde, donde el orden de las capas codifica la flecha del tiempo. La factorización tensorial mediante descomposición de Kruskal se aplica así a para asignar cada nodo a una comunidad a lo largo del tiempo.
Inferencia estadística
Se han propuesto métodos basados en inferencia estadística, generalizando los enfoques existentes introducidos para redes unidimensionales. El modelo de bloques estocásticos es el modelo generativo más utilizado, apropiadamente generalizado al caso de redes multicapa. [47] [48]
En cuanto a las redes unidimensionales, se pueden utilizar métodos basados en principios como la longitud mínima de descripción para la selección de modelos en métodos de detección de comunidades basados en el flujo de información. [8]
Reducibilidad estructural
Dada la mayor complejidad de las redes multicapa con respecto a las redes unidimensionales, se dedica un campo de investigación activo a simplificar la estructura de dichos sistemas mediante el empleo de algún tipo de reducción de dimensionalidad. [20] [49]
Un método popular se basa en el cálculo de la divergencia cuántica Jensen-Shannon entre todos los pares de capas, que luego se explota por sus propiedades métricas para construir una matriz de distancias y agrupar jerárquicamente las capas. Las capas se agregan sucesivamente de acuerdo con el árbol jerárquico resultante y el procedimiento de agregación se detiene cuando la función objetivo , basada en la entropía de la red , obtiene un máximo global. Este enfoque codicioso es necesario porque el problema subyacente requeriría verificar todos los grupos de capas posibles de cualquier tamaño, lo que requiere una gran cantidad de combinaciones posibles (que viene dada por el número de Bell y escalas super-exponencialmente con la cantidad de unidades). Sin embargo, para sistemas multicapa con un número reducido de capas, se ha demostrado que el método funciona de manera óptima en la mayoría de los casos. [20]
Otros descriptores de red multicapa
Correlaciones de grados
La cuestión de las correlaciones de grados en redes unidimensionales es bastante sencilla: ¿las redes de grado similar tienden a conectarse entre sí? En las redes multidimensionales, lo que significa esta pregunta se vuelve menos claro. Cuando nos referimos al grado de un nodo, ¿nos estamos refiriendo a su grado en una dimensión o colapsado sobre todo? Cuando buscamos sondear la conectividad entre nodos, ¿estamos comparando los mismos nodos en todas las dimensiones, o diferentes nodos dentro de las dimensiones, o una combinación? [5] ¿Cuáles son las consecuencias de las variaciones en cada una de estas estadísticas sobre otras propiedades de la red? En un estudio, se encontró que la assortatividad disminuye la robustez en una red dúplex. [50]
Dominio del camino
Dados dos trayectorias multidimensionales, r y s , decimos que r domina s si y sólo si: y tal que . [38]
Descubrimiento de la ruta más corta
Entre otras estadísticas de la red, muchas medidas de centralidad se basan en la capacidad de evaluar las rutas más cortas de un nodo a otro. La extensión de estos análisis a una red multidimensional requiere incorporar conexiones adicionales entre nodos en los algoritmos que se utilizan actualmente (por ejemplo, el de Dijkstra ). Los enfoques actuales incluyen el colapso de las conexiones de múltiples enlaces entre nodos en un paso de preprocesamiento antes de realizar variaciones en una búsqueda de la red en la que se amplíe primero . [28]
Distancia multidimensional
Una forma de evaluar la distancia entre dos nodos en una red multidimensional es comparando todas las rutas multidimensionales entre ellos y eligiendo el subconjunto que definimos como más corto a través de la dominancia de la ruta: vamos ser el conjunto de todos los caminos entre y . Entonces la distancia entre y es un conjunto de caminos tal que tal que domina . La longitud de los elementos en el conjunto de caminos más cortos entre dos nodos se define, por tanto, como la distancia multidimensional . [38]
Relevancia de la dimensión
En una red multidimensional , la relevancia de una dimensión determinada (o conjunto de dimensiones) para un nodo se puede evaluar por la relación: . [39]
Conectividad dimensional
En una red multidimensional en la que diferentes dimensiones de conexión tienen diferentes valores del mundo real, las estadísticas que caracterizan la distribución de enlaces a las diversas clases son de interés. Por lo tanto, es útil considerar dos métricas que evalúan esto: conectividad de dimensión y conectividad de dimensión exclusiva de borde. El primero es simplemente la relación entre el número total de enlaces en una dimensión determinada y el número total de enlaces en cada dimensión:. Este último evalúa, para una dimensión dada, el número de pares de nodos conectados solo por un enlace en esa dimensión:. [39]
Detección de ráfagas
La explosión es un fenómeno bien conocido en muchas redes del mundo real, por ejemplo, el correo electrónico u otras redes de comunicación humana. Las dimensiones adicionales de la comunicación proporcionan una representación más fiel de la realidad y pueden resaltar estos patrones o disminuirlos. Por lo tanto, es de vital importancia que nuestros métodos para detectar comportamientos en ráfagas en redes se adapten a redes multidimensionales. [51]
Procesos de difusión en redes multicapa
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Los procesos de difusión se utilizan ampliamente en física para explorar sistemas físicos, así como en otras disciplinas como ciencias sociales, neurociencia, transporte urbano e internacional o finanzas. Recientemente, se han generalizado procesos de difusión simples y más complejos a redes multicapa. [22] [52] Un resultado común a muchos estudios es que la difusión en redes multiplex, un tipo especial de sistema multicapa, exhibe dos regímenes: 1) el peso de los enlaces entre capas, que conectan capas entre sí, no es lo suficientemente alto y el sistema múltiplex se comporta como dos (o más) redes desacopladas; 2) el peso de los enlaces entre capas es lo suficientemente alto como para que las capas se acoplen entre sí, provocando fenómenos físicos inesperados. [22] Se ha demostrado que existe una transición abrupta entre estos dos regímenes. [53]
De hecho, todos los descriptores de red que dependen de algún proceso de difusión, desde las medidas de centralidad hasta la detección de comunidades, se ven afectados por el acoplamiento capa-capa. Por ejemplo, en el caso de la detección de comunidades, el acoplamiento bajo (donde la información de cada capa por separado es más relevante que la estructura general) favorece los clústeres dentro de las capas, mientras que el acoplamiento alto (donde la información de todas las capas simultáneamente es más relevante que la de cada capa por separado). ) favorece las agrupaciones de capas cruzadas. [7] [8]
El proceso de reacción de difusión en un sistema multicapa ha sido estudiado por Lazaridis et al. [54] Se constata que para el procesodonde A y B están inicialmente en capas diferentes, luego se difunden aleatoriamente y cuando se encuentran ambos desaparecen. Se encontró que en este modelo, debido a la reacción, existe una especie de repulsión entre A y B que retrasa su mezcla y por lo tanto su reacción.
Paseos aleatorios
En cuanto a las redes unidimensionales, es posible definir recorridos aleatorios en la parte superior de los sistemas multicapa. Sin embargo, dada la estructura multicapa subyacente, los caminantes aleatorios no se limitan a moverse de un nodo a otro dentro de la misma capa ( salto ), sino que también se les permite moverse a través de capas ( cambiar ). [13]
Las caminatas aleatorias se pueden utilizar para explorar un sistema multicapa con el objetivo final de desentrañar su organización de mesoescala , es decir, dividirlo en comunidades , [7] [8] y se han utilizado recientemente para comprender mejor la navegabilidad de las redes multicapa y su resistencia al azar. fallos, [13] así como para explorar eficientemente este tipo de topologías. [55]
En el caso de sistemas multicapa interconectados, la probabilidad de moverse desde un nodo en capa al nodo en capa se puede codificar en el tensor de transición de rango 4 y la caminata en tiempo discreto puede describirse mediante la ecuación maestra
dónde indica la probabilidad de encontrar al caminante en el nodo en capa en el momento . [2] [13]
Hay muchos tipos diferentes de caminatas que se pueden codificar en el tensor de transición. , dependiendo de cómo se permita a los caminantes saltar y cambiar. Por ejemplo, el caminante puede saltar o cambiar en un solo paso de tiempo sin distinguir entre enlaces entre capas e intracapa ( caminata aleatoria clásica ), o puede elegir permanecer en la capa actual y saltar, o cambiar de capa y luego salte a otro nodo en el mismo paso de tiempo ( caminata física aleatoria ). En la literatura se pueden encontrar reglas más complicadas, correspondientes a problemas específicos a resolver. [22] En algunos casos, es posible encontrar, analíticamente, la solución estacionaria de la ecuación maestra. [13] [55]
Difusión clásica
El problema de la difusión clásica en redes complejas es comprender cómo fluirá una cantidad a través del sistema y cuánto tiempo tardará en alcanzar el estado estacionario. La difusión clásica en redes multiplex se ha estudiado recientemente mediante la introducción del concepto de matriz de supra-adyacencia , [56] posteriormente reconocido como un aplanamiento especial del tensor de adyacencia multicapa. [2] En notación tensorial, la ecuación de difusión en la parte superior de un sistema general multicapa se puede escribir, de forma concisa, como
dónde es la cantidad de cantidad de difusión en el momento en nodo en capa . El tensor de rango 4 que gobierna la ecuación es el tensor laplaciano, que generaliza la matriz combinatoria laplaciana de redes unidimensionales. Vale la pena señalar que en notación no tensorial, la ecuación toma una forma más complicada.
Muchas de las propiedades de este proceso de difusión se entienden completamente en términos del segundo valor propio más pequeño del tensor laplaciano. Es interesante que la difusión en un sistema múltiplex puede ser más rápida que la difusión en cada capa por separado, o en su agregación, siempre que se satisfagan ciertas propiedades espectrales. [56]
Información y propagación de epidemias
Recientemente, la forma en que la información (o enfermedades) se propaga a través de un sistema multicapa ha sido objeto de una intensa investigación. [57] [58] [59]
Percolación de redes interdependientes multicapa
Buldyrev y col. [27] desarrolló un marco para estudiar la percolación en redes multicapa con enlaces de dependencia entre las capas. Se han encontrado nuevos fenómenos físicos, incluidas transiciones abruptas y fallas en cascada. [60] [61] Cuando las redes están incrustadas en el espacio, se vuelven extremadamente vulnerables incluso para una fracción muy pequeña de enlaces de dependencia [62] y para ataques localizados en una fracción cero de nodos. [63] [64] Cuando se introduce la recuperación de nodos, se encuentra un diagrama de fase rico que incluye puntos multicríticos, histéresis y regímenes metaestables. [65] [66]
Interdependencia con las comunidades
Las redes interdependientes multicapa (ver figura) también se han estudiado en presencia de comunidades dentro de las diferentes redes. [67] Para comunidades espaciales en redes interdependientes multidimensionales, ver Vaknin et al. [68]
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Interdependencia dinámica en redes multicapa
Se ha desarrollado un enfoque de dependencia dinámica que representa la interdependencia de sistemas dinámicos, como la sincronización y el ensanchamiento, basado en redes multicapa. [69] El estudio encontró fenómenos como fenómenos colectivos acoplados, incluida la multiestabilidad, histéresis, regiones de coexistencia y caos macroscópico.
Software
- muxViz , marco libre y eficiente para el análisis y visualización de redes multicapa, basado en R [1] [70]
- Biblioteca de redes multicapa para Python (Pymnet) por Mikko Kivelä
- MAMMULT métricas y modelos para las redes de múltiples capas (colección de código C / Python) [3] [6]
- Código MATLAB de GenLouvain para la detección comunitaria basado en la maximización de la modularidad multicorte [7]
- Librería Multinet R y C ++ para el análisis de redes multicapa.
Referencias
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