Distribución normal multivariada

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución normal multivariante , la distribución gaussiana multivariante o la distribución normal conjunta es una generalización de la distribución normal unidimensional ( univariante ) a dimensiones superiores . Una definición es que se dice que un vector aleatorio tiene una distribución normal k variable si cada combinación lineal de sus k componentes tiene una distribución normal uni variable. Su importancia deriva principalmente del teorema del límite central multivariado. La distribución normal multivariante se usa a menudo para describir, al menos aproximadamente, cualquier conjunto de variables aleatorias de valor real (posiblemente) correlacionadas , cada una de las cuales se agrupa alrededor de un valor medio.

La distribución normal multivariada de un vector aleatorio k -dimensional se puede escribir en la siguiente notación:${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots,X_{k})^{\mathrm {T} }}$

y matriz de covarianza${\ estilo de visualización k \ veces k}$

tal que La inversa de la matriz de covarianza se denomina matriz de precisión , denotada por .${\displaystyle 1\leq i,j\leq k.}$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$

Un vector aleatorio real se denomina vector aleatorio normal estándar si todos sus componentes son independientes y cada uno es una variable aleatoria distribuida normalmente con varianza unitaria de media cero, es decir, si para todo . ^{[1] : pág. 454}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1)}$${\displaystyle n}$

Densidad articular normal bivariada

Distribución normal bivariada centrada en con una desviación estándar de 3 en aproximadamente la dirección y de 1 en la dirección ortogonal.${\displaystyle (1,3)}$${\displaystyle (0.878,0.478)}$

Arriba: la probabilidad de una normal bivariada en el dominio (regiones azules). Medio: la probabilidad de una normal trivariada en un dominio toroidal. Abajo: integral de Monte-Carlo convergente de la probabilidad de una normal de 4 variables en el dominio poliédrico regular 4d definido por . Todos estos se calculan mediante el método numérico de trazado de rayos. ^[15]${\displaystyle x\sin y-y\cos x>1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\vert x_{i}\vert <1}$

a: Densidad de probabilidad de una función de una sola variable normal con y . b: Densidad de probabilidad de una función de un vector normal , con media y covarianza . c: Mapa de calor de la densidad de probabilidad conjunta de dos funciones de un vector normal , con media y covarianza . d: Densidad de probabilidad de una función de 4 iid variables normales estándar. Estos se calculan mediante el método numérico de trazado de rayos. ^[15]${\displaystyle \cos x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu =-2}$${\displaystyle \sigma =3}$${\displaystyle x^{y}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(1,2)}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}.01&.016\\.016&.04\end{bmatrix}}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(-2,5)}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}10&-7\\-7&10\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\vert x_{i}\vert }$

Izquierda: clasificación de siete clases normales multivariantes. Las elipses coloreadas son elipses de error de 1 sd. El negro marca los límites entre las regiones de clasificación. es la probabilidad de error de clasificación total. Derecha: la matriz de error. es la probabilidad de clasificar una muestra de normal como . Estos se calculan mediante el método numérico de trazado de rayos ^[15] ( código Matlab ).${\displaystyle p_{e}}$${\displaystyle p_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$