En estadística , una distribución de Pareto multivariada es una extensión multivariante de una distribución de Pareto univariante . [1]
Hay varios tipos diferentes de distribuciones de Pareto univariadas, incluidos los tipos de Pareto I-IV y Feller-Pareto . [2] Se han definido distribuciones de Pareto multivariadas para muchos de estos tipos.
Distribución de Pareto bivariada del primer tipo
Mardia (1962) [3] definió una distribución bivariada con función de distribución acumulativa (CDF) dada por
![{\displaystyle F(x_{1},x_{2})=1-\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a}+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y función de densidad articular
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(a+1)a(\theta _{1}\theta _{2})^{a+1}(\theta _{2}x_{1}+\theta _{1}x_{2}-\theta _{1}\theta _{2})^{-(a+2)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2;a>0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las distribuciones marginales son Pareto Tipo 1 con funciones de densidad
![{\displaystyle f(x_{i})=a\theta _{i}^{a}x_{i}^{-(a+1)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las medias y las varianzas de las distribuciones marginales son
![{\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},a>1;\quad Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},a>2;\quad i=1,2,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y para a > 2, X 1 y X 2 se correlacionan positivamente con
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X_{1},X_{2})={\frac {\theta _{1}\theta _{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ and }}\operatorname {cor} (X_{1},X_{2})={\frac {1}{a}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Distribución de Pareto bivariada del segundo tipo
Arnold [4] sugiere representar el CDF complementario de Pareto Tipo I bivariado por
![{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i},i=1,2.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si se permite que la ubicación y el parámetro de escala sean diferentes, el CDF complementario es
![{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},i=1,2,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que tiene distribuciones marginales univariadas de Pareto Tipo II. Esta distribución se denomina distribución de Pareto multivariada de tipo II por Arnold. [4] (Esta definición no es equivalente a la distribución de Pareto bivariada de Mardia del segundo tipo). [3]
Para a > 1, las medias marginales son
![{\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,2,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
mientras que para a > 2, las varianzas, covarianza y correlación son las mismas que para Pareto multivariante del primer tipo.
Distribución de Pareto multivariante del primer tipo
La distribución de Pareto multivariada de Mardia [3] del primer tipo tiene la función de densidad de probabilidad conjunta dada por
![{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=a(a+1)\cdots (a+k-1)\left(\prod _{i=1}^{k}\theta _{i}\right)^{-1}\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-(a+k)},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,a>0,\qquad (1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las distribuciones marginales tener la misma forma que (1), y las distribuciones marginales unidimensionales tener una distribución de Pareto Tipo I . El CDF complementario es
![{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\quad (2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las medias marginales y las varianzas están dadas por
![{\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},{\text{ for }}a>1,{\text{ and }}Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ for }}a>2.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si a > 2 las covarianzas y correlaciones son positivas con
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\frac {\theta _{i}\theta _{j}}{(a-1)^{2}(a-2)}},\qquad \operatorname {cor} (X_{i},X_{j})={\frac {1}{a}},\qquad i\neq j.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Distribución de Pareto multivariante del segundo tipo
Arnold [4] sugiere representar el CDF complementario de Pareto Tipo I multivariante por
![{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots ,k.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si se permite que la ubicación y el parámetro de escala sean diferentes, el CDF complementario es
![{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k,\qquad (3)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que tiene distribuciones marginales del mismo tipo (3) y distribuciones marginales univariadas de Pareto Tipo II . Esta distribución se denomina distribución de Pareto multivariada de tipo II por Arnold. [4]
Para a > 1, las medias marginales son
![{\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,\dots ,k,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
mientras que para a > 2, las varianzas, covarianzas y correlaciones son las mismas que para Pareto multivariante del primer tipo.
Distribución de Pareto multivariante del cuarto tipo
Un vector aleatorio X tiene una distribución de Pareto multivariada k -dimensional del cuarto tipo [4] si su función de supervivencia conjunta es
![{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{1/\gamma _{i}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las distribuciones marginales k 1 -dimensionales ( k 1 < k ) son del mismo tipo que (4), y las distribuciones marginales unidimensionales son Pareto Tipo IV.
Distribución de Feller-Pareto multivariante
Un vector aleatorio X tiene una distribución de Feller-Pareto k -dimensional si
![{\displaystyle X_{i}=\mu _{i}+(W_{i}/Z)^{\gamma _{i}},\qquad i=1,\dots ,k,\qquad (5)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle W_{i}\sim \Gamma (\beta _{i},1),\quad i=1,\dots ,k,\qquad Z\sim \Gamma (\alpha ,1),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
son variables gamma independientes. [4] Las distribuciones marginales y las distribuciones condicionales son del mismo tipo (5); es decir, son distribuciones de Feller-Pareto multivariadas. Las distribuciones marginales unidimensionales son de tipo Feller-Pareto .