Forma cuadrática definida

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En matemáticas , una forma cuadrática definida es una forma cuadrática sobre un espacio vectorial real V que tiene el mismo signo (siempre positivo o siempre negativo) para cada vector distinto de cero de V. Según ese signo, la forma cuadrática se llama definida positiva o definida negativa .

Una forma cuadrática semidefinida (o semidefinida) se define de la misma manera, excepto que "siempre positivo" y "siempre negativo" se reemplazan por "siempre no negativo" y "siempre no positivo", respectivamente. En otras palabras, puede tomar valores cero para algunos vectores distintos de cero de V .

Una forma cuadrática indefinida toma valores tanto positivos como negativos y se llama forma cuadrática isotrópica .

Las formas cuadráticas corresponden uno a uno a formas bilineales simétricas sobre el mismo espacio. ^[2] Una forma bilineal simétrica también se describe como definida , semidefinida , etc. según su forma cuadrática asociada. Una forma cuadrática Q y su forma bilineal simétrica asociada B están relacionadas por las siguientes ecuaciones:

Esta última fórmula surge de expandir .${\displaystyle Q(x+y)=B(x+y,x+y)}$

Como ejemplo, sea , y considere la forma cuadrática${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

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