En matemáticas, se dice que una forma cuadrática sobre un campo F es isótropa si hay un vector distinto de cero en el que la forma se evalúa como cero. De lo contrario, la forma cuadrática es anisotrópica . Más precisamente, si q es una forma cuadrática en un espacio vectorial V sobre F , entonces se dice que un vector v distinto de cero en V es isótropo si q ( v ) = 0 . Una forma cuadrática es isótropa si y solo si existe un vector isótropo distinto de cero (o vector nulo ) para esa forma cuadrática.
Suponga que ( V , q ) es un espacio cuadrático y W es un subespacio . Entonces W se denomina subespacio isotrópico de V si algún vector en él es isótropo, un subespacio totalmente isótropo si todos los vectores son isótropos y un subespacio anisótropo si no contiene ningún vector isótropo (distinto de cero). LaEl índice de isotropía de un espacio cuadrático es el máximo de las dimensiones de los subespacios totalmente isotrópicos. [1]
Una forma cuadrática q en un espacio vectorial real de dimensión finita V es anisotrópica si y solo si q es una forma definida :
- o bien q es positivo definido , es decir, q ( v )> 0 para todos los v distintos de cero en V ;
- o q es definida negativa , es decir q ( v ) <0 para todos los no-cero v en V .
Más en general, si la forma cuadrática es no degenerado y tiene la firma ( un , b ) , entonces su índice de isotropía es el mínimo de una y b . Un ejemplo importante de una forma isotrópica sobre los reales ocurre en el espacio pseudo-euclidiano .
Plano hiperbólico
Sea F un campo de característica no 2 y V = F 2 . Si consideramos el elemento general ( x , y ) de V , entonces las formas cuadráticas q = xy y r = x 2 - y 2 son equivalentes ya que hay una transformación lineal en V que hace que q parezca r , y viceversa. Evidentemente, ( V , q ) y ( V , r ) son isotrópicos. Este ejemplo se llama plano hiperbólico en la teoría de formas cuadráticas . Una instancia común tiene F = números reales, en cuyo caso { x ∈ V : q ( x ) = constante distinta de cero} y { x ∈ V : r ( x ) = constante distinta de cero} son hipérbolas . En particular, { x ∈ V : r ( x ) = 1} es la unidad de hipérbola . Milnor y Husemoller [1] : 9 han utilizado la notación ⟨1⟩ ⊕ ⟨− 1⟩ para el plano hiperbólico a medida que se muestran los signos de los términos del polinomio bivariado r .
El plano hiperbólico afín fue descrito por Emil Artin como un espacio cuadrático con base { M , N } que satisface M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , donde los productos representan la forma cuadrática. [2]
A través de la identidad de polarización, la forma cuadrática se relaciona con una forma bilineal simétrica B ( u , v ) =1/4( q ( u + v ) - q ( u - v )) .
Dos vectores u y v son ortogonales cuando B ( u , v ) = 0 . En el caso del plano hiperbólico, tales u y v son hiperbólico-ortogonales .
Espacio cuadrático dividido
Un espacio con forma cuadrática se divide (o metabólico ) si hay un subespacio que es igual a su propio complemento ortogonal ; de manera equivalente, el índice de isotropía es igual a la mitad de la dimensión. [1] : 57 El plano hiperbólico es un ejemplo, y sobre un campo de característica no igual a 2, cada espacio dividido es una suma directa de planos hiperbólicos. [1] : 12,3
Relación con la clasificación de formas cuadráticas
Desde el punto de vista de la clasificación de formas cuadráticas, los espacios anisotrópicos son los bloques de construcción básicos para espacios cuadráticos de dimensiones arbitrarias. Para un campo general F , la clasificación de formas cuadráticas anisotrópicas es un problema no trivial. Por el contrario, las formas isotrópicas suelen ser mucho más fáciles de manejar. Según el teorema de descomposición de Witt , cada espacio de producto interno sobre un campo es una suma directa ortogonal de un espacio dividido y un espacio anisotrópico. [1] : 56
Teoría de campo
- Si F es un campo algebraicamente cerrado , por ejemplo, el campo de números complejos , y ( V , q ) es un espacio cuadrático de dimensión al menos dos, entonces es isotrópico.
- Si F es un campo finito y ( V , q ) es un espacio cuadrático de dimensión al menos tres, entonces es isotrópico (esto es una consecuencia del teorema de Chevalley-Warning ).
- Si F es el campo Q p de p -números ádicos y ( V , q ) es un espacio cuadrático de dimensión al menos cinco, entonces es isotrópico.
Ver también
Referencias
- Pete L. Clark, Formas cuadráticas capítulo I: teoría de Witts de la Universidad de Miami en Coral Gables, Florida .
- Tsit Yuen Lam (1973) Teoría algebraica de formas cuadráticas , §1.3 Plano hiperbólico y espacios hiperbólicos, WA Benjamin .
- Tsit Yuen Lam (2005) Introducción a las formas cuadráticas sobre campos , American Mathematical SocietyISBN 0-8218-1095-2 .
- O'Meara, OT (1963). Introducción a las formas cuadráticas . Springer-Verlag . pag. 94 §42D Isotropía. ISBN 3-540-66564-1.
- Serre, Jean-Pierre (2000) [1973]. Un curso de aritmética . Textos de Posgrado en Matemáticas : Clásicos en matemáticas. 7 (reimpresión de la 3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl 1034.11003 .