Nervio (teoría de categorías)
En la teoría de categorías , una disciplina dentro de las matemáticas, el nervio N ( C ) de una pequeña categoría C es un conjunto simplicial construido a partir de los objetos y morfismos de C . La realización geométrica de este conjunto simplicial es un espacio topológico , llamado el espacio clasificador de la categoría C . Estos objetos estrechamente relacionados pueden proporcionar información sobre algunas categorías familiares y útiles utilizando la topología algebraica , la mayoría de las veces la teoría de la homotopía .
El nervio de una categoría se usa a menudo para construir versiones topológicas de espacios de módulos . Si X es un objeto de C , su espacio de módulos debería codificar de alguna manera todos los objetos isomorfos a X y realizar un seguimiento de los diversos isomorfismos entre todos estos objetos en esa categoría. Esto puede volverse bastante complicado, especialmente si los objetos tienen muchos automorfismos sin identidad. El nervio proporciona una forma combinatoria de organizar estos datos. Dado que los conjuntos simpliciales tienen una buena teoría de homotopía, se pueden hacer preguntas sobre el significado de los diversos grupos de homotopía π n ( N ( C)). Se espera que las respuestas a estas preguntas proporcionen información interesante sobre la categoría C original o sobre categorías relacionadas.
La noción de nervio es una generalización directa de la noción clásica de clasificar el espacio de un grupo discreto; ver más abajo para más detalles.
Sea C una categoría pequeña. Hay un 0-simplex de N ( C ) para cada objeto de C . Hay un 1-simplex para cada morfismo f : x → y en C . Ahora supongamos que f : x → y y g : Y → z son morfismos en C . Entonces también tenemos su composición gf : x → z .
El diagrama sugiere nuestro curso de acción: agregue un 2-simplex para este triángulo conmutativo. Cada 2-simplex de N ( C ) proviene de un par de morfismos componibles de esta manera. La adición de estos 2-simplices no borra ni ignora los morfismos obtenidos por composición, simplemente recuerda que así es como surgen.
de C . Para completar la definición de N ( C ) como un conjunto simplicial, también debemos especificar los mapas de caras y degeneraciones. Estos también nos los proporciona la estructura de C como categoría. Los mapas faciales
