La teoría de Newton-Cartan (o gravitación newtoniana geometrizada ) es una reformulación geométrica, así como una generalización, de la gravedad newtoniana introducida por primera vez por Élie Cartan [1] [2] y Kurt Friedrichs [3] y luego desarrollada por Dautcourt, [ 4] Dixon, [5] Dombrowski y Horneffer, Ehlers, Havas, [6] Künzle, [7] Lottermoser, Trautman , [8] y otros. En esta re-formulación, las similitudes estructurales entre la teoría de Newton y Albert Einstein 's teoría general de la relatividadse ven fácilmente, y Cartan y Friedrichs lo han utilizado para dar una formulación rigurosa de la forma en que la gravedad newtoniana puede verse como un límite específico de la relatividad general, y por Jürgen Ehlers para extender esta correspondencia a soluciones específicas de la relatividad general .
Espacio-tiempos clásicos
En la teoría de Newton-Cartan, uno comienza con una variedad suave de cuatro dimensiones. y define dos métricas (degeneradas). Una métrica temporal con firma , utilizado para asignar longitudes temporales a vectores en y una métrica espacial con firma . También se requiere que estas dos métricas satisfagan una condición de transversalidad (u "ortogonalidad"),. Así, se define un espacio-tiempo clásico como un cuádruple ordenado., dónde y son como se describen, es un operador derivado covariante compatible con métricas; y las métricas satisfacen la condición de ortogonalidad. Se podría decir que un espaciotiempo clásico es análogo a un espaciotiempo relativista. , dónde es una métrica suave de Lorentz en la variedad.
Formulación geométrica de la ecuación de Poisson
En la teoría de la gravitación de Newton, la ecuación de Poisson dice
dónde es el potencial gravitacional, es la constante gravitacional y es la densidad de masa. El principio de equivalencia débil motiva una versión geométrica de la ecuación de movimiento para una partícula puntual en el potencial
dónde es la masa inercial y la masa gravitacional. Dado que, de acuerdo con el principio de equivalencia débil, la ecuación de movimiento correspondiente
ya no contiene una referencia a la masa de la partícula. Siguiendo la idea de que la solución de la ecuación es una propiedad de la curvatura del espacio, se construye una conexión para que la ecuación geodésica
representa la ecuación de movimiento de una partícula puntual en el potencial . La conexión resultante es
con y (). La conexión se ha construido en un sistema inercial, pero se puede demostrar que es válida en cualquier sistema inercial mostrando la invariancia de y bajo las transformaciones de Galilei. El tensor de curvatura de Riemann en las coordenadas del sistema inercial de esta conexión viene dado por
donde los corchetes significa la combinación antisimétrica del tensor . El tensor de Ricci está dado por
lo que conduce a la siguiente formulación geométrica de la ecuación de Poisson
Más explícitamente, si los índices romanos i y j se encuentran en las coordenadas espaciales 1, 2, 3, entonces la conexión viene dada por
el tensor de curvatura de Riemann por
y el tensor de Ricci y el escalar de Ricci por
donde todos los componentes que no figuran en la lista son iguales a cero.
Tenga en cuenta que esta formulación no requiere la introducción del concepto de métrica: la conexión por sí sola proporciona toda la información física.
Ascensor Bargmann
Se demostró que la teoría de la gravitación de Newton-Cartan en cuatro dimensiones puede reformularse como una reducción de Kaluza-Klein de la gravedad de Einstein en cinco dimensiones a lo largo de una dirección nula. [9] Este levantamiento se considera útil para modelos holográficos no relativistas . [10]
Referencias
- ↑ Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033 / asens. 751
- ^ Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens.753
- ^ Friedrichs, KO (1927), "Eine Invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und der Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz", Mathematische Annalen , 98 : 566–575, doi : 10.1007 / bf01451608
- ^ Dautcourt, G. (1964), "Die Newtonische Gravitationstheorie als strenger Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie", Acta Physica Polonica , 65 : 637–646
- ^ Dixon, WG (1975), "Sobre la singularidad de la teoría newtoniana como teoría geométrica de la gravitación", Communications in Mathematical Physics , 45 (2): 167-182, Bibcode : 1975CMaPh..45..167D , doi : 10.1007 / bf01629247
- ^ Havas, P. (1964), "Formulaciones tetradimensionales de la mecánica newtoniana y su relación con la teoría de la relatividad especial y general", Reviews of Modern Physics , 36 (4): 938–965, Bibcode : 1964RvMP ... 36 ..938H , doi : 10.1103 / revmodphys.36.938
- ^ Künzle, H. (1976), "Límites newtonianos covariantes del espacio-tiempo de Lorentz", Relatividad general y gravitación , 7 (5): 445–457, Código bibliográfico : 1976GReGr ... 7..445K , doi : 10.1007 / bf00766139
- ^ Trautman, A. (1965), Deser, Jürgen; Ford, KW (eds.), Fundamentos y problemas actuales de la relatividad general , 98 , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall , págs. 1–248
- ^ Duval, C .; Burdet, G .; Künzle, HP; Perrin, M. (1985). "Estructuras de Bargmann y teoría de Newton-Cartan". Physical Review D . 31 (8): 1841–1853. Código bibliográfico : 1985PhRvD..31.1841D . doi : 10.1103 / PhysRevD.31.1841 . PMID 9955910 .
- ^ Goldberger, Walter D. (2009). "Dualidad AdS / CFT para la teoría de campo no relativista". Revista de Física de Altas Energías . 2009 (3): 069. arXiv : 0806.2867 . Código bibliográfico : 2009JHEP ... 03..069G . doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2009/03/069 .
Bibliografía
- Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033 / asens.751
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- Cartan, Élie (1955), Œuvres complètes , III / 1, Gauthier-Villars, págs.659, 799
- Renn, Jürgen; Schemmel, Matthias, eds. (2007), Génesis de la relatividad general , 4 , Springer, págs. 1107–1129 (Traducción al inglés del artículo Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. # 40)
- Capítulo 1 de Ehlers, Jürgen (1973), "Estudio de la teoría de la relatividad general", en Israel, Werner (ed.), Relatividad, Astrofísica y Cosmología , D. Reidel, págs. 1-125, ISBN 90-277-0369-8