Polinomio de Newton

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En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Newton , llamado así por su inventor Isaac Newton , ^[1] es un polinomio de interpolación para un conjunto dado de puntos de datos. El polinomio de Newton a veces se denomina polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton porque los coeficientes del polinomio se calculan utilizando el método de diferencias divididas de Newton .

Definición

Dado un conjunto de k  + 1 puntos de datos

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

donde no hay dos x _j iguales, el polinomio de interpolación de Newton es una combinación lineal de polinomios de base de Newton

${\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}$

con los polinomios de base de Newton definidos como

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})}$

para j > 0 y .${\displaystyle n_{0}(x)\equiv 1}$

Los coeficientes se definen como

${\displaystyle a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

dónde

${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

es la notación para diferencias divididas .

Por tanto, el polinomio de Newton se puede escribir como

${\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).}$

Fórmula de diferencia dividida hacia adelante de Newton

El polinomio de Newton se puede expresar de forma simplificada cuando se organizan consecutivamente con el mismo espaciado. Al presentar la notación para cada y , la diferencia se puede escribir como . Entonces el polinomio de Newton se convierte en${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle h=x_{i+1}-x_{i}}$${\displaystyle i=0,1,\dots ,k-1}$${\displaystyle x=x_{0}+sh}$${\displaystyle x-x_{i}}$${\displaystyle (s-i)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}}$

Esto se llama la fórmula de diferencia dividida hacia adelante de Newton ^{[ cita requerida ]} .

Fórmula de diferencia dividida hacia atrás de Newton

Si los nodos se reordenan como , el polinomio de Newton se convierte en${\displaystyle {x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}}$

${\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).}$

Si están igualmente espaciados con y para i = 0, 1, ..., k , entonces,${\displaystyle {x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}}$${\displaystyle x={x}_{k}+sh}$${\displaystyle {x}_{i}={x}_{k}-(k-i)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{k-i}].\end{aligned}}}$

se llama la fórmula de diferencia dividida hacia atrás de Newton ^{[ cita requerida ]} .

Importancia

Más información: Diferencias finitas § Serie de Newton

La fórmula de Newton es de interés porque es la versión simple y natural de diferencias del polinomio de Taylor. El polinomio de Taylor dice adónde irá una función, según su valor de y , y sus derivadas (su tasa de cambio y la tasa de cambio de su tasa de cambio, etc.) en un valor de x particular . La fórmula de Newton es el polinomio de Taylor basado en diferencias finitas en lugar de tasas de cambio instantáneas.

Adición de nuevos puntos

Al igual que con otras fórmulas de diferencias, el grado de un polinomio de interpolación de Newton se puede aumentar agregando más términos y puntos sin descartar los existentes. La forma de Newton tiene la simplicidad de que los nuevos puntos siempre se agregan en un extremo: la fórmula hacia adelante de Newton puede agregar nuevos puntos a la derecha y la fórmula hacia atrás de Newton puede agregar nuevos puntos a la izquierda.

La precisión de la interpolación polinomial depende de qué tan cerca esté el punto interpolado del medio de los valores x del conjunto de puntos utilizados. Obviamente, a medida que se agregan nuevos puntos en un extremo, ese medio se aleja cada vez más del primer punto de datos. Por lo tanto, si no se sabe cuántos puntos se necesitarán para la precisión deseada, la mitad de los valores de x puede estar lejos de donde se realiza la interpolación.

Gauss, Stirling y Bessel desarrollaron fórmulas para remediar ese problema. ^[2]

La fórmula de Gauss agrega alternativamente nuevos puntos en los extremos izquierdo y derecho, manteniendo así el conjunto de puntos centrados cerca del mismo lugar (cerca del punto evaluado). Al hacerlo, utiliza términos de la fórmula de Newton, con puntos de datos y valores de x renombrados de acuerdo con la elección de qué punto de datos se designa como punto de datos x ₀ .

La fórmula de Stirling permanece centrada en un punto de datos en particular, para usar cuando el punto evaluado está más cerca de un punto de datos que en la mitad de dos puntos de datos.

La fórmula de Bessel permanece centrada en un medio particular entre dos puntos de datos, para usar cuando el punto evaluado está más cerca de un medio que de un punto de datos.

Bessel y Stirling logran eso usando a veces el promedio de dos diferencias y, a veces, usando el promedio de dos productos de binomios en x , donde Newton o Gauss usarían solo una diferencia o producto. Stirling usa una diferencia promedio en términos de grados impares (cuya diferencia usa un número par de puntos de datos); Bessel usa una diferencia promedio en términos de grados pares (cuya diferencia usa un número impar de puntos de datos).

Fortalezas y debilidades de varias fórmulas

Para cualquier conjunto finito dado de puntos de datos, solo hay un polinomio de menor grado posible que pasa por todos ellos. Por tanto, conviene hablar de la "forma de Newton", o forma de Lagrange , etc., del polinomio de interpolación. Sin embargo, la forma en que se obtiene el polinomio es importante. Existen varios métodos similares, como los de Gauss, Bessel y Stirling. Se pueden derivar de Newton cambiando el nombre de los valores x de los puntos de datos, pero en la práctica son importantes.

Bessel contra Stirling

La elección entre Bessel y Stirling depende de si el punto interpolado está más cerca de un punto de datos o más cerca de un medio entre dos puntos de datos.

El error de una interpolación polinomial se acerca a cero, cuando el punto de interpolación se acerca a un punto de datos. Por lo tanto, la fórmula de Stirling trae su mejora de precisión donde menos se necesita y Bessel trae su mejora de precisión donde más se necesita.

Por lo tanto, se podría decir que la fórmula de Bessel es la fórmula de diferencia más precisa y, en general, la más precisa de las conocidas fórmulas de interpolación polinomial.

Métodos de diferencia dividida frente a Lagrange

A veces se dice que Lagrange requiere menos trabajo y, a veces, se recomienda para problemas en los que se sabe, de antemano, por experiencia previa, cuántos términos se necesitan para una precisión suficiente.

Los métodos de diferencia dividida tienen la ventaja de que se pueden agregar más puntos de datos para mejorar la precisión. Se pueden seguir utilizando los términos basados ​​en los puntos de datos anteriores. Con la fórmula de Lagrange ordinaria, resolver el problema con más puntos de datos requeriría volver a hacer todo el problema.

Existe una versión "baricéntrica" ​​de Lagrange que evita la necesidad de volver a hacer todo el cálculo al agregar un nuevo punto de datos. Pero requiere que se registren los valores de cada término.

Pero la capacidad de Gauss, Bessel y Stirling de mantener los puntos de datos centrados cerca del punto interpolado les da una ventaja sobre Lagrange, cuando no se sabe, de antemano, cuántos puntos de datos se necesitarán.

Además, suponga que uno quiere averiguar si, para algún tipo particular de problema, la interpolación lineal es suficientemente precisa. Eso se puede determinar evaluando el término cuadrático de una fórmula de diferencia dividida. Si el término cuadrático es insignificante, lo que significa que el término lineal es suficientemente preciso sin agregar el término cuadrático, entonces la interpolación lineal es suficientemente precisa. Si el problema es lo suficientemente importante, o si el término cuadrático es casi lo suficientemente grande como para importar, entonces uno podría querer determinar si la suma de los términos cuadrático y cúbico es lo suficientemente grande como para tener importancia en el problema.

Por supuesto, solo se puede utilizar un método de diferencia dividida para tal determinación.

Para ello, se debe elegir la fórmula de diferencia dividida y / o su punto x _{0 de} manera que la fórmula utilice, para su término lineal, los dos puntos de datos entre los que se haría la interpolación lineal de interés.

Las fórmulas de diferencia dividida son más versátiles y útiles en más tipos de problemas.

La fórmula de Lagrange está en su mejor momento cuando toda la interpolación se hará a un valor de x , con solo los valores de y de los puntos de datos que varían de un problema a otro, y cuando se sabe, por experiencia pasada, cuántos términos se necesitan para suficiente precisión.

Con la forma de Newton del polinomio de interpolación existe un algoritmo compacto y eficaz para combinar los términos para encontrar los coeficientes del polinomio. ^[3]

Precisión

Cuando, con Stirling o Bessel, el último término usado incluye el promedio de dos diferencias, entonces se está usando un punto más del que usaría Newton u otras interpolaciones polinomiales para el mismo grado de polinomio. Entonces, en ese caso, Stirling o Bessel no está poniendo un polinomio de N -1 grados a través de N puntos, sino que, en cambio, está intercambiando equivalencia con Newton para un mejor centrado y precisión, dando a esos métodos a veces una precisión potencialmente mayor, para un grado de polinomio dado. , que otras interpolaciones polinomiales.

Caso general

Para el caso especial de x _i = i , existe un conjunto de polinomios estrechamente relacionados, también llamados polinomios de Newton, que son simplemente los coeficientes binomiales para el argumento general. Es decir, también se tienen los polinomios de Newton dados por${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}$

De esta forma, los polinomios de Newton generan la serie de Newton . Estos son a su vez un caso especial de los polinomios en diferencias generales que permiten la representación de funciones analíticas a través de ecuaciones en diferencias generalizadas.

Idea principal

Resolver un problema de interpolación conduce a un problema de álgebra lineal en el que tenemos que resolver un sistema de ecuaciones lineales. Usando una base monomial estándar para nuestro polinomio de interpolación obtenemos la muy complicada matriz de Vandermonde . Al elegir otra base, la base de Newton, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con una matriz triangular inferior mucho más simple que se puede resolver más rápido.

Para k  + 1 puntos de datos, construimos la base de Newton como

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots ,k.}$

Usando estos polinomios como base para tenemos que resolver${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}}$

para resolver el problema de interpolación de polinomios.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver iterativamente resolviendo

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.}$

Derivación

Si bien la fórmula de interpolación se puede encontrar resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, existe una pérdida de intuición en lo que muestra la fórmula y por qué funciona la fórmula de interpolación de Newton no es evidente. Para empezar, necesitaremos el siguiente resultado:

${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{1}]}$. Esta igualdad significa que invertir los términos de la diferencia dividida no tiene ningún efecto sobre el resultado final. Demostraremos este resultado con inducción.

Base :${\textstyle [y_{1},y_{2}]={\frac {[y_{2}]-[y_{1}]}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {[y_{1}]-[y_{2}]}{x_{1}-x_{2}}}=[y_{2},y_{1}]}$

Inducción : suponga que el resultado es válido para una diferencia dividida que implica menos de términos. Usando la hipótesis de inducción, vemos que donde se usó la hipótesis de inducción en la segunda igualdad.${\displaystyle n+1}$${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{2},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{1}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{1}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{2}]}{x_{1}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}$

Para derivar la fórmula de interpolación, ahora usaremos el siguiente resultado que también se probará con inducción:

${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}$donde es el polinomio único de grado (como máximo) que pasa por los puntos . Con este resultado, ahora podemos cuantificar exactamente el error entre el polinomio de interpolación en y el valor verdadero .${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle y_{n}}$

Base : donde pasa el polinomio único de grado 0 .${\displaystyle [y_{1},y_{2}](x_{2}-x_{1})={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x_{2}-x_{1})=y_{2}-y_{1}=y_{2}-P(x_{2})}$${\displaystyle P(x)=y_{1}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

Inducción : suponga que el resultado es válido para cuando hay menos de puntos. Sea el polinomio de grado (como máximo) que pasa por${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{2},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{1}}}(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\left([y_{2},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{2},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n}))\end{aligned}}}$

donde es el polinomio único de grado (como máximo) que pasa por los puntos . La penúltima igualdad proviene de la hipótesis de inducción ya que involucra puntos y por lo tanto . Acercándonos al resultado deseado, ahora afirmamos que, dado que ambos polinomios atraviesan y son de grado (como máximo) . Ambos criterios definen de forma única un polinomio. El hecho de que el lado izquierdo pase a través es evidente por cómo se define. Para demostrar los pases del lado izquierdo , usaremos el primer resultado demostrado anteriormente junto con la hipótesis de inducción: ${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle (x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle [y_{2},\ldots ,y_{n+1}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [y_{2},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-Q(x_{n+1})}$${\displaystyle Q(x)+[y_{1},\ldots ,y_{n}](x-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})=P(x)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(x_{1})+[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{1}-x_{n})\\&=Q(x_{1})+[y_{n},\ldots ,y_{1}](x_{1}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{1}-x_{2})\\&=Q(x_{1})+y_{1}-Q(x_{1})\\&=y_{1}\\&=P(x_{1})\\\end{aligned}}}$

donde la segunda igualdad se deriva del hecho de que es el polinomio de grado (como máximo) que pasa por satisfacer la hipótesis de inducción. Continuando con el paso de inducción anterior, ahora vemos que ¿ dónde está el polinomio de grado que pasa? Por lo tanto, la demostración está completa.${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle (x_{n},y_{n}),\ldots ,(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).}$

Todo este trabajo conduce ahora al origen de la fórmula de interpolación de Newton. Reordenando el resultado anterior, notamos que es el polinomio de grado (como máximo) que pasa , y así vemos que "extender" un polinomio al siguiente punto requiere agregar el término que nos da la fórmula de interpolación de Newton.${\displaystyle P(x)+[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n+1},y_{n+1})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle (x_{n+1},y_{n+1})}$${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$

Polinomio de Taylor

El límite del polinomio de Newton si todos los nodos coinciden es un polinomio de Taylor , porque las diferencias divididas se convierten en derivadas.

${\displaystyle \lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})=}$

${\displaystyle =f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots +{\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}}$

Aplicación

Como puede verse en la definición de las diferencias divididas, se pueden agregar nuevos puntos de datos al conjunto de datos para crear un nuevo polinomio de interpolación sin volver a calcular los coeficientes antiguos. Y cuando un punto de datos cambia, normalmente no tenemos que volver a calcular todos los coeficientes. Además, si las x _i se distribuyen de manera equidistante, el cálculo de las diferencias divididas se vuelve significativamente más fácil. Por lo tanto, las fórmulas de diferencias divididas generalmente se prefieren a la forma de Lagrange para fines prácticos.

Ejemplos

Las diferencias divididas se pueden escribir en forma de tabla. Por ejemplo, para una función f se va a interpolar en puntos . Escribir${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matrix}}}$

Luego, el polinomio de interpolación se forma como se indicó anteriormente, utilizando las entradas más altas de cada columna como coeficientes.

Por ejemplo, suponga que vamos a construir el polinomio de interpolación af ( x ) = tan ( x ) usando diferencias divididas, en los puntos

${\displaystyle x_{0}=-{\tfrac {3}{2}}}$	${\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle x_{2}=0}$	${\displaystyle x_{3}={\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle x_{4}={\tfrac {3}{2}}}$
${\displaystyle f(x_{0})=-14.1014}$	${\displaystyle f(x_{1})=-0.931596}$	${\displaystyle f(x_{2})=0}$	${\displaystyle f(x_{3})=0.931596}$	${\displaystyle f(x_{4})=14.1014}$

Usando seis dígitos de precisión, construimos la tabla

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\\&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\&&1.24213&&4.83484&\\{\tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matrix}}}$

Por tanto, el polinomio de interpolación es

${\displaystyle -14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})=}$

${\displaystyle =-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}}$

Dados más dígitos de precisión en la tabla, se encontrará que el primer y tercer coeficientes son cero.

Otro ejemplo:

La secuencia tal que y , es decir, son de a .${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$${\displaystyle f_{0}(4)=5}$${\displaystyle 6,9,2,5}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{3}=4}$

Obtienes la pendiente del orden de la siguiente manera:${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3}$

Como tenemos las pendientes de orden , es posible obtener el siguiente orden:${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5}$
• ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$

Finalmente, definimos la pendiente del orden :${\displaystyle 3}$

• ${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}}$

Una vez que tenemos la pendiente, podemos definir los polinomios consecuentes:

• ${\displaystyle p_{0}(x)=6}$.
• ${\displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
• ${\displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)}$.
• ${\displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)}$

Ver también

• De numeris triangularibus et inde de progressionibus arithmeticis: Magisteria magna , un trabajo de Thomas Harriot que describe métodos similares de interpolación, escrito 50 años antes que el trabajo de Newton pero no publicado hasta 2009
• Serie Newton
• El esquema de Neville
• Interpolación polinomial
• Forma de Lagrange del polinomio de interpolación
• Forma de Bernstein del polinomio de interpolación
• Interpolación de Hermite
• Teorema de carlson
• Tabla de series newtonianas

Referencias

1. Dunham, William (1990). "7". Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas . Kanak Agrawal, Inc. págs.  155-183 . ISBN 9780140147391. Consultado el 24 de octubre de 2019 .
2. Métodos numéricos para científicos e ingenieros, RW Hamming
3. Stetekluh, Jeff. "Algoritmo para la forma de Newton del polinomio de interpolación" .

Enlaces externos

• Módulo para el polinomio de Newton por John H. Mathews