- Las diferencias divididas son simétricas: si es una permutación entonces
- dónde está en el intervalo abierto determinado por el menor y mayor de los 's.
Forma de matriz
El esquema de diferencia dividida se puede colocar en una matriz triangular superior . Dejar.
Entonces aguanta
- Esto se sigue de la regla de Leibniz. Significa que la multiplicación de tales matrices es conmutativa . En resumen, las matrices de esquemas de diferencias divididas con respecto al mismo conjunto de nodos forman un anillo conmutativo .
- Desde es una matriz triangular, sus valores propios son obviamente.
- Dejar ser una función delta de Kronecker , es decir
- Obviamente , por lo tanto es una función propia de la multiplicación de funciones puntuales. Es decir es de alguna manera una " matriz propia " de : . Sin embargo, todas las columnas de son múltiplos entre sí, el rango de la matriz de es 1. Entonces puedes componer la matriz de todos los autovectores de la -th columna de cada . Denote la matriz de vectores propios con . Ejemplo
- La diagonalización de Se puede escribir como
- .
Forma expandida
Con la ayuda de una función polinomial con esto se puede escribir como
Alternativamente, podemos permitir contar hacia atrás desde el inicio de la secuencia definiendo cuando sea o . Esta definición permite para ser interpretado como , para ser interpretado como , para ser interpretado como , etc. La forma expandida de la diferencia dividida se convierte así
Sin embargo, otra caracterización utiliza límites:
Fracciones parciales
Puede representar fracciones parciales usando la forma expandida de diferencias divididas. (Esto no simplifica el cálculo, pero es interesante en sí mismo). y son funciones polinomiales , donde y viene dado en términos de factores lineales por, entonces se sigue de la descomposición de fracciones parciales que
Si se aceptan los límites de las diferencias divididas, entonces esta conexión también se mantiene, si algunos de los coincidir.
Si es una función polinomial con grado arbitrario y se descompone por usando la división polinomial de por , luego
Forma de peano
Las diferencias divididas se pueden expresar como
dónde es una B-spline de grado para los puntos de datos y es el -ésima derivada de la función.
Esto se llama la forma Peano de las diferencias divididas yse llama el núcleo de Peano por las diferencias divididas, ambas con el nombre de Giuseppe Peano .
Forma de taylor
Primer orden
Si los nodos se acumulan, entonces el cálculo numérico de las diferencias divididas es inexacto, porque divide casi dos ceros, cada uno de los cuales tiene un error relativo alto debido a diferencias de valores similares . Sin embargo, sabemos que los cocientes de diferencias se aproximan a la derivada y viceversa:
- por
Esta aproximación se puede convertir en una identidad siempre que se aplique el teorema de Taylor .
Puedes eliminar los extraños poderes de expandiendo la serie de Taylor en el centro entre y :
- , es decir
Orden superior
La serie de Taylor o cualquier otra representación con serie de funciones se puede utilizar en principio para aproximar diferencias divididas. Las series de Taylor son sumas infinitas de funciones de potencia . El mapeo de una función a una diferencia dividida es un funcional lineal . También podemos aplicar esta función a los sumandos de funciones.
Exprese la notación de potencia con una función ordinaria:
La serie regular de Taylor es una suma ponderada de funciones de potencia:
Serie de Taylor para diferencias divididas:
Sabemos que el primero términos desaparecen, porque tenemos un orden de diferencia más alto que el orden polinomial, y en el siguiente término la diferencia dividida es uno:
De ello se deduce que la serie de Taylor para la diferencia dividida comienza esencialmente con que también es una aproximación simple de la diferencia dividida, de acuerdo con el teorema del valor medio para diferencias divididas .
Si tuviéramos que calcular las diferencias divididas para las funciones de potencia de la manera habitual, encontraríamos los mismos problemas numéricos que tuvimos al calcular la diferencia dividida de . Lo bueno es que hay una forma más sencilla. Se mantiene
En consecuencia, podemos calcular las diferencias divididas de por una división de series de poder formales . Vea cómo esto se reduce al cálculo sucesivo de potencias cuando calculamos por varios .
Si necesita calcular un esquema de diferencias divididas completo con respecto a una serie de Taylor, consulte la sección sobre diferencias divididas de series de potencias .
Las diferencias divididas de polinomios son particularmente interesantes, porque pueden beneficiarse de la regla de Leibniz. La matriz con
contiene el esquema de diferencia dividida para la función de identidad con respecto a los nodos, por lo tanto contiene las diferencias divididas para la función de potencia con exponente . En consecuencia, puede obtener las diferencias divididas para una función polinomial con respecto al polinomio aplicando (más precisamente: su función polinomial matricial correspondiente ) a la matriz .
Esto se conoce como fórmula de Opitz . [2] [3]
Ahora considere aumentar el grado de hasta el infinito, es decir, convertir el polinomio de Taylor en una serie de Taylor . Dejarser una función que corresponda a una serie de potencias . Puede calcular un esquema de diferencia dividida calculando la serie de matrices correspondiente aplicada a. Si los nodos son todos iguales, entonces es un bloque de Jordan y el cálculo se reduce a generalizar una función escalar a una función matricial utilizando la descomposición de Jordan .